Cantor-ruimte

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de topologie, een deelgebied van de wiskunde, is een Cantor-ruimte, vernoemd naar Georg Cantor, een topologische abstractie van de klassieke Cantor-verzameling: een topologische ruimte is een Cantor-ruimte als deze topologische ruimte homeomorf is met de Cantor-verzameling. In de verzamelingenleer wordt de topologische ruimte 2ω "de" Cantor-ruimte genoemd.

Voorbeelden[bewerken]

De Cantor-verzameling zelf is natuurlijk een Cantor-ruimte. Maar het kanonieke voorbeeld van een Cantor-ruimte is het aftelbare oneindige topologische product van de discrete 2-punts ruimte (0, 1). Dit wordt meestal geschreven als 2^\mathbb{N} van 2ω (waar 2 staat voor de 2-element verzameling (0,1) met discrete topologie). Een punt in 2ω is een oneindige binaire rij, dat wil zeggen een rij, die alleen de waarden 0 of 1 kan aannemen. Gegeven een dergelijke rij a1, a2, a3,..., kan men deze rij afbeelden op het reële getal


\sum_{n=1}^\infty \frac{2 a_n}{3^n}.

Deze afbeelding is een homeomorfisme van 2ω op de Cantor-verzameling, waaruit blijkt dat 2ω inderdaad een Cantor-ruimte is.

Eigenschappen[bewerken]

Zoals kan worden verwacht uit de stelling van Brouwer komen Cantor-ruimten in verschillende vormen voor. Veel eigenschappen van Cantor-ruimten kunnen worden vastgesteld door gebruik te maken van 2ω, dit omdat de constructie ervan als een product de Cantor-ruimte ontvankelijk maakt voor analyse.

Cantor-ruimten hebben de volgende eigenschappen:

Zie ook[bewerken]