Cantor-ruimte

In de topologie, een deelgebied van de wiskunde, is een Cantor-ruimte, vernoemd naar Georg Cantor, een topologische abstractie van de klassieke Cantor-verzameling: een topologische ruimte is een Cantor-ruimte als deze topologische ruimte homeomorf is met de Cantor-verzameling. In de verzamelingenleer wordt de topologische ruimte 2^ω "de" Cantor-ruimte genoemd.

Voorbeelden

De Cantor-verzameling zelf is natuurlijk een Cantor-ruimte. Maar het kanonieke voorbeeld van een Cantor-ruimte is het aftelbare oneindige topologische product van de discrete 2-punts ruimte (0, 1). Dit wordt meestal geschreven als $2^\mathbb{N}$ van 2^ω (waar 2 staat voor de 2-element verzameling (0,1) met discrete topologie). Een punt in 2^ω is een oneindige binaire rij, dat wil zeggen een rij, die alleen de waarden 0 of 1 kan aannemen. Gegeven een dergelijke rij a₁, a₂, a₃,..., kan men deze rij afbeelden op het reële getal

$\sum_{n=1}^\infty \frac{2 a_n}{3^n}.$

Deze afbeelding is een homeomorfisme van 2^ω op de Cantor-verzameling, waaruit blijkt dat 2^ω inderdaad een Cantor-ruimte is.

Eigenschappen

Zoals kan worden verwacht uit de stelling van Brouwer komen Cantor-ruimten in verschillende vormen voor. Veel eigenschappen van Cantor-ruimten kunnen worden vastgesteld door gebruik te maken van 2^ω, dit omdat de constructie ervan als een product de Cantor-ruimte ontvankelijk maakt voor analyse.

Cantor-ruimten hebben de volgende eigenschappen:

• De kardinaliteit van enige Cantor-ruimte is $2^{\aleph_0}$, dat wil zeggen, de kardinaliteit van het continuüm.
• Het product van twee (of zelfs een eindig of aftelbaar aantal) Cantor-ruimten is opnieuw een Cantor-ruimte. Samen met de Cantor-functie kan dit feit worden gebruikt om ruimtevullende krommen te construeren.
• Een Hausdorff topologische ruimte is compact metriseerbaar dan en slechts dan als het een continu beeld van een Cantor-ruimte is.

Zie ook

• Cantor-kubus
• Georg Cantor