Cardioïde

De constructie van een cardioïde (rood) met R = r = 1.

De cardioïde (letterlijk: hartvormig) of hartkromme is een wiskundige planaire kromme die ontstaat door een kleine cirkel met straal r te laten wentelen rond een grote cirkel met straal R en waarbij geldt dat R = r.

Vergelijkingen

De cardioïde kan, zoals alle curves, beschreven worden door een vergelijking. In de vergelijkingen is a geen variabele, maar een constante die afhangt van de grootte van de cardioïde.

Cartesische vergelijking

De vergelijking in Cartesiaanse coördinaten voor de cardioïde luidt:

$\left(x^2+y^2+2ax\right)^2 \, = \, 4a^2\left(x^2 + y^2\right) \,$

Parametervergelijking

De parametervergelijking van de cardioïde wordt gegeven door:

$x(t) = a (2\cos t - \cos 2 t ) \,$

$y(t) = a ( 2\sin t - \sin 2 t ) \,$

Dit kan, aan de hand van goniometrische identiteiten, herschreven worden tot:

$x(t) = 2a \cos t \, (1 - \cos t) \,$

$y(t) = 2a \sin t \, (1 - \cos t) \,$

Poolcoördinaten

De poolcoördinaten voor de kromme zijn:

$r(\theta) = 2a(1 - \cos \theta) \,$

waarbij $\theta \,$ de parameter t vervangt.

Oppervlakte

De oppervlakte, omsloten door de kromme, wordt gegeven door:

$A = \frac12\int_0^{2\pi}\ r(\theta)^2\ d\theta = 2a^2\int_0^{2\pi}\ (1 - \cos \theta)^2\ d\theta$

wat kan herleid worden tot

$A = 6 \pi a^2 \,$

Booglengte

De booglengte van de cardioïde met als poolcoördinaten

$r(\theta) = 2a(1 - \cos \theta) \,$

is gelijk aan

$L = 16 a \,$

Zie ook

• Cycloïde
• Nefroïde (voor R = 2r)

Externe links

• (en) Cardioïde op MathWorld