Cardioïde

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
De constructie van een cardioïde (rood) met R = r = 1.

De cardioïde (letterlijk: hartvormig) of hartkromme is een wiskundige planaire kromme die ontstaat door een kleine cirkel met straal r te laten wentelen rond een grote cirkel met straal R en waarbij geldt dat R = r.

Vergelijkingen[bewerken]

De cardioïde kan, zoals alle curves, beschreven worden door een vergelijking. In de vergelijkingen is a geen variabele, maar een constante die afhangt van de grootte van de cardioïde.

Cartesische vergelijking[bewerken]

De vergelijking in Cartesiaanse coördinaten voor de cardioïde luidt:

 \left(x^2+y^2+2ax\right)^2 \, = \, 4a^2\left(x^2 + y^2\right) \,

Parametervergelijking[bewerken]

De parametervergelijking van de cardioïde wordt gegeven door:

 x(t) = a (2\cos t - \cos 2 t ) \,
 y(t) = a ( 2\sin t - \sin 2 t ) \,

Dit kan, aan de hand van goniometrische identiteiten, herschreven worden tot:

 x(t) = 2a \cos t \, (1 - \cos t) \,
 y(t) = 2a \sin t \, (1 - \cos t) \,

Poolcoördinaten[bewerken]

In poolcoördinaten wordt de kromme beschreven als:

 r(\theta) = 2a(1 - \cos \theta) \,

waarbij \theta \, de parameter t vervangt.

Oppervlakte[bewerken]

De oppervlakte, omsloten door de kromme, wordt gegeven door:

A = \frac12\int_0^{2\pi}\ r(\theta)^2\ d\theta = 2a^2\int_0^{2\pi}\ (1 - \cos \theta)^2\ d\theta

wat kan herleid worden tot

 A = 6 \pi a^2 \,

Booglengte[bewerken]

De booglengte van de cardioïde met als poolcoördinaten

 r(\theta) = 2a(1 - \cos \theta) \,

is gelijk aan

 L = 16 a \,

Zie ook[bewerken]

Externe links[bewerken]