Cartesiaanse vergelijking

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Een cartesiaanse vergelijking is een wiskundige vergelijking die een meetkundige plaats beschrijft in de n-dimensionale Euclidische ruimte.

Algemeen[bewerken]

De algemene gedaante van een cartesiaanse vergelijking is een functie van n variabelen (de cartesiaanse coördinaten), gelijkgesteld aan nul:

\, f(x_1,x_2,...,x_n)=0

Meestal werkt men twee-dimensionaal dat wil zeggen in een plat vlak (2D), dan stelt men de cartesiaanse coördinaten voor als \, (x,y) ofwel werkt men ruimtelijk (3D), waar men de cartesiaanse coördinaten voorstelt als \, (x,y,z). Waarbij x,y en z een waarde voorstellen op hun gelijknamige as.

Voorbeelden[bewerken]

Vlakken[bewerken]

Vlakken in 3D zijn cartesiaanse vergelijkingen van de eerste graad van de vorm:

\, Ax+By+Cz+D=0

Zo wordt het de drie coördinaatvlakken bepaald door

  • XY-vlak (grondvlak): \, z=0
  • XZ-vlak: \, y=0
  • YZ-vlak: \, x=0

Cirkel en Sfeer[bewerken]

In 2D wordt een cirkel met straal \,r door \,(a,b) beschreven door:

\, f(x,y)=(x-a)^2+(y-b)^2-r^2=0

of herkenbaarder als:

\, (x-a)^2+(y-b)^2=r^2

Voor een sfeer (in 3D) wordt dit:

\, (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2

Kwadratisch oppervlak[bewerken]

Kwadratisch oppervlakken worden beschreven door een cartesiaanse vergelijking van de tweede graad in een meer dan 2 dimensionale ruimte.

\, A_1x^2+A_2y^2+A_3z^2+B_1xy+B_2xz+B_3yz+C_1x+C_2y+C_3z+D=0

Voorbeelden zijn legio: cilinders, kegels, sferen...

Krommen[bewerken]

Krommen kunnen in de meer-dimensionale ruimte, beschreven worden als doorsnijding van twee oppervlakken. Men heeft dus twee cartesiaanse vergelijkingen nodig die beiden moeten gelden. Kortweg noemt men dit dan de cartesiaanse vergelijking van de kromme.

Een cirkel in het grondvlak kan beschreven worden als de doorsnijding van een omwentelingscilinder (met als as de z-as) en het grondvlak:

\, x^2+y^2=r^2
\, z=0

Verband met de parametervergelijking[bewerken]

Door uit de parametervergelijking van een object de parameters te elimineren bekom je de cartesiaanse vergelijking.

Voorbeelden[bewerken]

De parametervergelijking van een cirkel (met als middelpunt de oorsprong) in het vlak is

\, x=r*cos(t)
\, y=r*sin(t)

Hieruit kunnen we meteen de bekende cartesiaanse vergelijking destilleren door kwadrateren en optellen.

Bij rechten in 3D kan je eenzelfde werkwijze hanteren. Gegeven een parametervoorstelling:

\, x=x_0+t.v_1
\, y=y_0+t.v_2
\, z=z_0+t.v_3

Uit deze drie vergelijkingen kan men drie uitdrukkingen voor t halen, die aan elkaar gelijk moeten zijn:

\, \frac{x-x_0}{v1}=\frac{y-y_0}{v2}=\frac{z-z_0}{v3}

Dit zijn duidelijk twee aaneengeschakelde cartesiaanse vergelijkingen.