Categorie (wiskunde)

Dit artikel slaat op het begrip categorie uit de wiskundige categorietheorie. Voor het topologische begrip met dezelfde naam, zie categorie (topologie).

In de categorietheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een categorie een klasse van objecten met overeenkomstige structuur, en morfismen tussen die objecten die de overeenkomst tussen de objecten symboliseren. De categorietheorie is een zeer abstracte theorie, die behoort tot de wiskundige logica, en door zijn algemeenheid toegepast kan worden op vele andere wiskundige gebieden, zoals de topologie, de verzamelingenleer, de groepentheorie en de algebra. Een aantal stellingen en definities binnen deze takken van wiskunde blijken slechts in termen van de objecten en afbeeldingen ertussen te kunnen worden uitgedrukt.

Voorbeeld

Allereerst volgt hier een voorbeeld van een categorie, om de termen in de definitie duidelijk te maken. In de categorie van groepen, zijn de objecten alle groepen, en de afbeeldingen zijn de homomorfismen daartussen, afbeeldingen die de structuur van de groep behouden. Bij iedere afbeelding hoort een domein en een codomein, de groepen waar de afbeelding vandaan komt, respectievelijk naar toe gaat. Bij elke groep bestaat het isomorfisme van die groep naar zichzelf, de identieke afbeelding die bij dat object hoort. Verder kunnen twee homomorfismen samengesteld worden tot een nieuw homomorfisme.

Definitie

Een categorie bestaat uit een klasse objecten, meestal aangegeven met hoofdletters A,B,C, ..., een klasse morfismen, meestal aangegeven met kleine letters f,g,h, ... en vier operaties. De eerste twee operaties wijzen aanj ieder morfisme twee objecten toe, het domein en het codomein. De derde operatie wijst bij ieder object een uniek morfisme aan, het eenheidsmorfisme. De vierde operatie, de samenstelling, geeft bij elk tweetal morfismen, waarbij het domein van het ene het codomein van het andere is, een nieuw morfisme, de samenstelling. Notatie: voor het domein en codomein van een morfisme f schrijven we respectievelijk dom(f) en cod(f), voor het eenheidsmorfisme van het object A schrijven we $1_A$ en voor de samenstelling van de morfismen f en g, waarbij dom(f)=cod(g), schrijven we $f\circ g$ ('f na g'). De volgende voorwaarden moeten gelden:

• dom($1_A$)=cod($1_A$)=A,
• dom($f \circ g$) = dom(g), cod($f \circ g$) = cod(f),
• Als dom(f)=D en cod(f)=C, dan $1_C \circ f = f, f \circ 1_D = f$,
• $(f \circ g) \circ h = f \circ (g \circ h)$ (associativiteit).

Een morfisme $f$, met $\mathrm{dom}(f)=D$ en $\mathrm{codom}(f)=C$, wordt, in analogie met een afbeelding, vaak genoteerd met een pijl: $f:D\to C$ of als $D\stackrel{f}{\to} C$.

De klasse objecten en de klasse morfismen zijn meestal te groot om formeel als verzameling te kunnen worden opgevat. Als ze allebei toch echte verzamelingen zijn, spreekt men soms van een kleine categorie.

Voorbeelden

Onderstaande tabel geeft de standaardnamen van enkele veel bestudeerde categorieën.

Categorie	Objecten	Morfismen
Set	Verzamelingen	Afbeeldingen
Grp	Groepen	Homomorfismen
Ab	Abelse groepen	Homomorfismen
Top	Topologische ruimten	Continue afbeeldingen

Als V een verzameling is, en R een relatie van V naar V die reflexief en transitief is, dan kunnen de elementen van V worden opgevat als objecten van een kleine categorie, en de koppels van R als de morfismen van die categorie.

Referenties

• (en) Abstract and Concrete Categories. John Wiley & Sons (1990). (now free on-line edition, GNU FDL).
• (en) Categories, Types and Structures. MIT Press (1991)..
• (en) Artikel door Jean-Pierre Marquis over categorietheorie in de Stanford Encyclopedia of Philosophy

Externe links

• (en) Chris Hillman, Categorical primer, formele introductie tot de categorietheorie.