Cauchy-Riemann-vergelijkingen

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de complexe analyse, een onderdeel van de wiskunde, zijn de Cauchy-Riemann differentiaalvergelijkingen (vernoemd naar Augustin Cauchy en Bernhard Riemann) twee partiële differentiaalvergelijkingen die een noodzakelijke en voldoende voorwaarde zijn voor een differentieerbare functie om holomorf in een open verzameling te zijn. Dit stelsel van vergelijkingen verscheen in 1752 als eerste in het werk van Jean Le Rond d'Alembert. Later, in 1777, bracht Leonhard Euler dit stelsel in verband met de analytische functies. Cauchy maakte hier in 1814 vervolgens gebruik van voor de constructie van zijn theorie van functies. Riemanns proefschrift over de theorie van functies verscheen in 1851.

De Cauchy-Riemann vergelijkingen over een paar reëel-waardige functies u(x,y) en v(x,y) zijn de twee vergelijkingen:

(1a) { \partial u \over \partial x } = { \partial v \over \partial y }

en

(1b) { \partial u \over \partial y } = -{ \partial v \over \partial x } .

Meestal wordt het paar u en v gezien als het reële en imaginaire deel van een complex-waardige functie

f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) \,.

Stel dat u en v continu differentieerbaar zijn op een open verzameling van C. Dan is

f = u + iv \,

dan en slechts dan holomorf als de partiële afgeleiden van u en v voldoen aan de Cauchy-Riemann vergelijkingen (1a) en (1b).