Cauchyrij

De blauwe punten vormen een Cauchyrij die zich beweegt tussen de twee rode grafieken die naar elkaar toe kruipen

Een Cauchyrij, of fundamentaalrij, is in de wiskunde een rij waarvoor geldt dat als men verder in de rij komt, de elementen van de rij willekeurig dicht in elkaars buurt komen te liggen. Intuïtief lijkt dit te betekenen dat de rij convergeert naar een limietwaarde. Dit is echter niet bij iedere Cauchy-rij het geval, aangezien het punt waarheen de rij lijkt te convergeren niet tot de betrokken verzameling behoeft te behoren. Cauchyrijen zijn als het ware de kandidaten voor convergentie.

De Cauchyrij is genoemd naar de Franse wiskundige Augustin Louis Cauchy (1789-1857).

Definitie

Een Cauchyrij in een metrische ruimte V met afstandsfunctie (metriek) d is een rij $(x_n)_{n\ge 1} = (x_1,x_2,x_3,\ldots)$ in V die voldoet aan de volgende voorwaarde:

Voor elk reëel getal $\varepsilon >0$ bestaat er een natuurlijk getal N zodanig dat voor alle natuurlijke getallen n en m die groter zijn dan N, geldt dat $d(x_n,x_m) < \varepsilon$.

Deze definitie zegt in woorden dat hoe klein je ε ook kiest, je altijd een punt in de rij kunt vinden van waaraf de afstand tussen twee willekeurige elementen altijd kleiner is dan ε.

Voor iedere convergente rij geldt dat het een Cauchyrij is.

Voorbeeld van een rij die geen Cauchyrij is

Voor een Cauchyrij gaat de afstand tussen twee opeenvolgende elementen (als punten in V) zeker naar 0, maar dit is niet een voldoende voorwaarde om een Cauchyrij te zijn, zoals blijkt uit het volgende tegenvoorbeeld.

Voor de rij met $x_n=\sum_{k=1}^n \frac 1k$ geldt: $x_n-x_{n-1}=\frac 1n\xrightarrow[\ n\to \infty\ ]{} 0$.

De rij is echter geen Cauchyrij, aangezien $|x_{n+m}-x_n|=\sum_{k=n+1}^{n+m} \frac 1k \ge \frac m{n+m}$ dus hoe groot $n$ bij een gegeven $\varepsilon<1$ ook gekozen wordt, er is altijd een $m$ te vinden waarvoor $\frac m{n+m}>\varepsilon$.

Voor de elementen $x_n$ van de rij geldt dat deze voor voldoend grote $n$ groter worden dan elk willekeurig getal L. De limiet van de rij $(x_n)$ is $\infty$.

Volledige metrische ruimte

Het begrip Cauchyrij speelt een rol in de definitie van een volledige metrische ruimte. In iedere metrische ruimte is iedere convergente rij tevens een Cauchyrij. Een metrische ruimte V wordt volledig genoemd als ook omgekeerd elke Cauchyrij die binnen die verzameling definieerbaar is, convergeert (naar een limietwaarde die dus ook binnen die verzameling moet liggen). Het bekendste voorbeeld hiervan zijn de reële getallen; de verzameling $\mathbb{R}$ van de reële getallen is gedefinieerd als de kleinste volledige metrische ruimte die de verzameling $\mathbb{Q}$ van de rationale getallen bevat. In $\mathbb{R}$ is elke Cauchyrij dus convergent.

Voorbeeld van een niet-convergente Cauchryrij

De rij $(x_n)$ is gedefinieerd als de opeenvolgende decimale benaderingen van $\sqrt{2}$:

$x_n = \max\{x| x \in \mathbb{Q}; 10^{n}x \in \N; x^{2} \leq 2\}$

het begin van de rij is dan:

$x_0 = 1$

$x_1 = 1.4$

$x_2 = 1.41$

$x_3 = 1.414$

$x_4 = 1.4142$

$x_5 = 1.41421$

$x_6 = 1.414213$

etc.

De rij $(x_n)$ is een Cauchyrij met elementen in $\mathbb{Q}$. In $\R$ convergeert $x_n$ naar $\sqrt{2}$, maar in $\mathbb{Q}$ is $(x_n)$ niet convergent ($\sqrt{2}$ is geen element van $\mathbb{Q}$, zoals bewezen in het bewijs dat wortel 2 irrationaal is). We zien dus dat niet iedere Cauchyrij in $\mathbb{Q}$ convergent is.

Cauchyrijen in de reële getallen

In de reële getallen is elke Cauchyrij convergent. De verzameling $\mathbb{R}$ van de reële getallen is dus volledig. Bij het bewijzen dat iedere Cauchyrij een limiet heeft binnen de reële getallen wordt gebruik gemaakt van de driehoeksongelijkheid.

Cauchyrij in een topologische vectorruimte

Een topologische vectorruimte is een reële of complexe vectorruimte, uitgerust met een topologie die de Hausdorff-eigenschap bezit en die de klassieke vectorbewerkingen continu maakt.

Een dergelijke topologie is niet altijd afkomstig van een metriek, maar toch kan het begrip Cauchyrij veralgemeend worden. Elke topologische vectorruimte heeft een aftelbare lokale basis in ieder punt. Zij

$\mathcal{B}=\{B_1,B_2,\ldots,B_i,\ldots\}$

een dergelijke lokale basis voor de nulvector. Een rij vectoren

$x_1,x_2,\ldots,x_n,\ldots \,$

heet Cauchyrij als er voor elke i een natuurlijk getal N bestaat zodat voor alle natuurlijke getallen n en m die groter dan N zijn, geldt dat

$x_n-x_m\in B_i$.

Het is niet moeilijk aan te tonen dat deze definitie onafhankelijk is van de gekozen aftelbare basis.

Gelijkwaardigheid van de definities

Een metriek op een topologische vectorruimte heet translatie-invariant als de afstanden tussen vectoren niet wijzigen onder invloed van een willekeurige verschuiving:

$\forall x,y,z\in V:d(x,y)=d(x+z,y+z).$

Als de topologie van V afkomstig is van een translatie-invariante metriek, dan valt de "topologische" definitie van een Cauchyrij samen met de "metrische" definitie. In het bijzonder geldt dat alle verschillende translatie-invariante metrieken die dezelfde topologische vectorruimte voortbrengen, dezelfde Cauchyrijen hebben.