Cayley-tabel

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de groepentheorie is een Cayley-tabel een vierkante tabel waarin de structuur van een eindige groep wordt weergegeven door de resultaten van de bewerkingen tussen de elementen te tonen. Cayley-tabellen zijn genoemd naar de Engelse wiskundige Arthur Cayley. Een Cayley-tabel is een Latijns vierkant.

Uit de Cayley-tabel van een groep laten zich gemakkelijk allerlei eigenschappen van de groep afleiden, zoals of het een abelse groep is en welke het inverse is van een element.

Heel algemeen wordt voor de groep met elementen a,b,c,...,n en bewerking *, de Cayley-tabel voorgesteld door:

   \!\,*    \!\,a \!\,b \!\,c \!\,\cdots \!\, n
\!\,a \!\,a*a \!\,a*b \!\,a*c \!\,\cdots \!\,a*n
\!\,b \!\,b*a \!\,b*b \!\,b*c \!\,\cdots \!\,b*n
\!\,c \!\,c*a \!\,c*b \!\,c*c \!\,\cdots \!\,c*n
\!\,\vdots \!\,\vdots \!\,\vdots \!\,\vdots \!\,\ddots \!\,\vdots
\!\,n \!\,n*a \!\,n*b \!\,n*c \!\,\cdots \!\,n *n

Aan de hand van deze tabel kunnen de voornaamste eigenschappen van een groep achterhaald worden.

Door de Cayley-tabellen van twee groepen te vergelijken, is na te gaan of zij isomorf zijn.

Voorbeelden[bewerken]

De verzameling {–1,1} met de bewerking vermenigvuldiging "×" heeft de Cayley-tabel:

× –1  1
–1  1 –1
 1 –1  1


  • Het betreft een inwendig en overal gedefinieerde bewerking, alle elementen in de tabel zijn immers ∈ {–1,1}.
  • Het neutrale element is (logischerwijze) 1, dit ziet men in de tabel door een rij of kolom te zoeken die gelijk is aan de marge.
  • De inverse van 1 is 1 en van –1, –1. Dit kan worden gevonden door in de tabel te kijken welke elementen samen het neutrale element opleveren.
  • De groep is commutatief: de tabel is immers symmetrisch ten opzichte van de hoofddiagonaal.

De groep {0, 1, 2} met als bewerking "+ modulo 3" heeft als Cayley-tabel:

  +     0     1     2  
0 0 1 2
1 1 2 0
2 2 0 1
  • Deze groep is commutatief, 0 is het neutrale element en 1 en 2 zijn elkaars tegengestelde (inverse).