Centrale enkelvoudige algebra
In de ringtheorie en aanverwante deelgebieden van wiskunde is een centrale enkelvoudige algebra (CEA) over een veld K een eindig-dimensionale associatieve algebra A, die enkelvoudig is en waarvoor het centrum exact gelijk is aan het veld K. Met andere woorden elke enkelvoudige algebra is een centrale enkelvoudige algebra over haar centrum.
De complexe getallen C vormen bijvoorbeeld een CEA over zichzelf, maar niet over de reële getallen R (het centrum van C is geheel C, niet alleen R). De quaternionen H vormen een 4-dimensionale centrale enkelvouidige algebra over R.
Volgens de stelling van Artin-Wedderburn is een enkelvoudige algebra A voor enige delingsring S isomorf met een M(n, S) . Gegeven twee centrale enkelvoudige algebra's A ~ M(n, S) en B ~ M(m, T) over hetzelfde veld F, worden A en B soortgelijk (of Brauer-equivalent) genoemd als hun delingsringen S en T isomorf zijn. De verzameling van alle equivalentieklassen van centrale enkelvoudige algebra's over een gegeven veld F kan, onder deze equivalentierelatie, worden uitgerust met een groepsoperatie, die door het tensorproduct van algebra's wordt gegeven. De resulterende groep (Br(F) wordt de Brauer-groep van het veld F genoemd.
Eigenschappen [bewerken]
- Elk automorfisme van een centrale enkelvoudige algebra is een inwendig automorfisme (volgt uit de stelling van Skolem-Noether)
- De dimensie van een centrale enkelvoudige algebra als een vectorruimte over haar centrum is altijd een vierkant
- Als S een enkelvoudige deelalgebra is van een centrale enkelvoudige algebra A dan deelt dimFS vervolgens dimFA
- Elke 4 dimensionale centrale enkelvoudige algebra over een veld F is isomorf met een quaternionenalgebra; in feite is het ofwel een twee-bij-twee matrixalgebra, of een delingsalgebra
