Chebyshev-polynoom

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
De eerste vijf Chebyshev-polynomen

De Chebyshev-polynomen zijn genoemd naar Pafnoeti Lvovitsj Tsjebysjev (Chebyshev in de Engelse transliteratie) en zijn gedefinieerd door

T_n(\cos(\theta))=\cos(n\theta) \!

voor n = 0, 1, 2, 3, .... .

Ze zijn de oplossingen van de Chebyshev-differentiaalvergelijking:

(1-x^2){d^2y \over dx^2}-x \cdot {dy \over dx}+n^2 \cdot y = 0 ,

die overigens door de substitutie

\tilde{y}(\theta)= y(\cos(\theta))\, ,

vereenvoudigt tot:

\tilde{y}''+n^2\tilde{y} = 0\, ,

waaruit eenvoudig te zien is dat

\tilde{y}(\theta)= \cos(n\theta))\,

een oplossing is.

De eerste tien Chebyshev-polynomen zijn:

 T_0(x) = 1 \,
 T_1(x) = x \,
 T_2(x) = 2x^2 - 1 \,
 T_3(x) = 4x^3 - 3x \,
 T_4(x) = 8x^4 - 8x^2 + 1 \,
 T_5(x) = 16x^5 - 20x^3 + 5x \,
 T_6(x) = 32x^6 - 48x^4 + 18x^2 - 1 \,
 T_7(x) = 64x^7 - 112x^5 + 56x^3 - 7x \,
 T_8(x) = 128x^8 - 256x^6 + 160x^4 - 32x^2 + 1 \,
 T_9(x) = 256x^9 - 576x^7 + 432x^5 - 120x^3 + 9x \,

Recursie[bewerken]

De polynomen staan in de volgende recursieve relatie:

T_0(x) = 1 \,\!
T_1(x) = x \,\!
T_{n+1}(x)=2xT_n(x)-T_{n-1}(x)\, voor n \geq 1 \,.

Graad[bewerken]

Dat cos(nx) een polynoom van graad n is in cos(x) kan worden ingezien door op te merken dat volgens de formule van De Moivre:

 \cos(nx)=\Re(\cos(x)+i\ \sin(x))^n

De termen daarin met sin(x) hebben een even macht en kunnen vervangen worden via de relatie

\sin^2(x) = 1-\cos^2(x)\,

Orthogonaliteit[bewerken]

Deze polynomen zijn orthogonaal ten opzichte van de gewichtsfunctie

\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},

op het interval [−1,1], i.e., we krijgen

\int_{-1}^1 T_n(x)T_m(x)\,\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=0\quad\mbox{als}\ n\neq m.

Dit geldt omdat (neem x = cos θ)

\int_0^\pi\cos(n\theta)\cos(m\theta)\,d\theta=0\quad\mbox{als}\ n\neq m.

Chebyshevpolynomen worden onder andere gebruikt in de numerieke wiskunde om benaderingen van functies te vinden.

Zie ook[bewerken]