Chebyshev-polynoom

De eerste vijf Chebyshev-polynomen

De Chebyshev-polynomen zijn genoemd naar Pafnoeti Lvovitsj Tsjebysjev (Chebyshev in de Engelse transliteratie) en zijn gedefinieerd door

$T_n(\cos(\theta))=\cos(n\theta) \!$

voor n = 0, 1, 2, 3, .... .

Ze zijn de oplossingen van de Chebyshev-differentiaalvergelijking:

$(1-x^2){d^2y \over dx^2}-x \cdot {dy \over dx}+n^2 \cdot y = 0$,

die overigens door de substitutie

$\tilde{y}(\theta)= y(\cos(\theta))\,$,

vereenvoudigt tot:

$\tilde{y}''+n^2\tilde{y} = 0\,$,

waaruit eenvoudig te zien is dat

$\tilde{y}(\theta)= \cos(n\theta))\,$

een oplossing is.

De eerste tien Chebyshev-polynomen zijn:

$T_0(x) = 1 \,$

$T_1(x) = x \,$

$T_2(x) = 2x^2 - 1 \,$

$T_3(x) = 4x^3 - 3x \,$

$T_4(x) = 8x^4 - 8x^2 + 1 \,$

$T_5(x) = 16x^5 - 20x^3 + 5x \,$

$T_6(x) = 32x^6 - 48x^4 + 18x^2 - 1 \,$

$T_7(x) = 64x^7 - 112x^5 + 56x^3 - 7x \,$

$T_8(x) = 128x^8 - 256x^6 + 160x^4 - 32x^2 + 1 \,$

$T_9(x) = 256x^9 - 576x^7 + 432x^5 - 120x^3 + 9x \,$

Recursie

De polynomen staan in de volgende recursieve relatie:

$T_0(x) = 1 \,\!$

$T_1(x) = x \,\!$

$T_{n+1}(x)=2xT_n(x)-T_{n-1}(x)\,$ voor $n \geq 1 \,$.

Graad

Dat cos(nx) een polynoom van graad n is in cos(x) kan worden ingezien door op te merken dat volgens de formule van De Moivre:

$\cos(nx)=\Re(\cos(x)+i\ \sin(x))^n$

De termen daarin met sin(x) hebben een even macht en kunnen vervangen worden via de relatie

$\sin^2(x) = 1-\cos^2(x)\,$

Orthogonaliteit

Deze polynomen zijn orthogonaal ten opzichte van de gewichtsfunctie

$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},$

op het interval [−1,1], i.e., we krijgen

$\int_{-1}^1 T_n(x)T_m(x)\,\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=0\quad\mbox{als}\ n\neq m.$

Dit geldt omdat (neem x = cos θ)

$\int_0^\pi\cos(n\theta)\cos(m\theta)\,d\theta=0\quad\mbox{als}\ n\neq m.$

Chebyshevpolynomen worden onder andere gebruikt in de numerieke wiskunde om benaderingen van functies te vinden.

Zie ook

• Hermite-polynoom
• Laguerre-polynoom
• Lagrange-polynoom
• Wilkinson-polynoom