Cilindercoördinaten

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Een punt P in Cilindercoördinaten

Cilindercoördinaten vormen een driedimensionaal coördinatenstelsel, gelijkend op het tweedimensionale stelsel van poolcoördinaten. Net als bij poolcoördinaten vormen r en θ de eerste twee coördinaten, de derde coördinaat wordt gegeven door z. Hierbij is:

  • r: de afstand van het punt tot de z-as.
  • θ: de hoek tussen de verbindingslijn van de oorsprong met de projectie van het punt op het xy-vlak en de positieve x-as.
  • z: de afstand van het punt tot aan het xy-vlak.

Het verband met de Cartesische coördinaten x en y wordt gegeven door:

x = r\ \cos(\theta) \!
y = r\ \sin(\theta) \!

De z-coördinaat is dezelfde in beide stelsels.

Het gebruik van cilindercoördinaten is, net als bij poolcoördinaten, handig als er bij een object sprake is van symmetrie rond een as, bijvoorbeeld een cilinder.

Jacobiaan[bewerken]

De Jacobiaan van de transformatie is:

J=
\frac{\partial (r,\theta,z)}{\partial (x,y,z)}=
\begin{bmatrix}
\frac xr & \frac yr & 0 \\
\frac{-y}{r^2} & \frac x{r^2}& 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta)& 0  \\
-\frac 1r \sin(\theta) & \frac 1r \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}

Omgekeerd:


\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta,z)}
=
\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & -r \sin(\theta) & 0\\
\sin(\theta) & r \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\frac xr& -y & 0\\
\frac yr &  x & 0\\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}

Vectorveld[bewerken]

Het is gebruikelijk een vectorveld

F(x,y,z)=(F_x(x,y,z),F_y(x,y,z),F_z(x,y,z))\,

in poolcoördinaten te ontbinden in een component F_r langs de poolstraal in het xy-vlak, een component F_\theta loodrecht daarop in de richting van de hoek θ en als derde component F_z. Voor deze componenten geldt:

F_r =\ F_x\cos(\theta)+F_y\sin(\theta)\,
F_\theta = -F_x\sin(\theta)+F_y\cos(\theta)\,

Omgekeerd:

F_x =F_r\cos(\theta)-F_\theta\sin(\theta)\,
F_y = F_r\sin(\theta)+F_\theta\cos(\theta)\,

Zie ook[bewerken]