Cirkels van Johnson

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Cirkels van Johnson (blauw) en de driehoek van Johnson (zwart) en zijn omgeschreven cirkel (rood)

Cirkels van Johnson zijn drie cirkels met dezelfde straal die elkaar in één gemeenschappelijk punt H snijden.

Buiten dit gemeenschappelijk punt snijden ze elkaar twee aan twee in drie punten die de driehoek van Johnson vormen.

Er gelden de volgende eigenschappen:

  • De drie middelpunten van de drie cirkels van Johnson liggen op een cirkel met dezelfde straal als de cirkels van Johnson en met als middelpunt H.
  • De omgeschreven cirkel aan de drie cirkels van Johnson heeft als straal de diameter van de cirkels van Johnson en als middelpunt weer het gemeenschappelijk snijpunt.
  • De drie raakpunten van die omgeschreven cirkel aan de drie cirkels van Johnson vormen een driehoek die gelijkvormig is met de driehoek van Johnson, en in feite eruit verkregen door een homothetie met factor 2 ten opzichte van H.
  • De drie hoekpunten van de driehoek van Johnson liggen op een cirkel met dezelfde straal als de cirkels van Johnson. Dit is de stelling van Johnson.
  • Die drie hoekpunten vormen een driehoek congruent aan de driehoek van Johnson.
  • De driehoek van Johnson en het punt H vormen een hoogtepuntssysteem.

De cirkels, driehoek en stelling van Johnson zijn vernoemd naar de Amerikaanse wiskundige Roger A. Johnson, die hierover in 1916 publiceerde.

Zie ook[bewerken]