Clebsch-Gordan-coëfficienten

In de natuurkunde zijn de Clebsch-Gordan-coëfficienten (CG-coëfficienten) verzamelingen van getallen die onder de wetten van de kwantummechanica tevoorschijn komen bij het koppelen van twee impulsmomenten.

In meer wiskundige termen worden de CG-coëfficienten gebruikt in de representatietheorie, met name die van compacte Lie-groepen. De CG-coëfficienten geven de expliciete directe som decompositie van het tensorproduct van twee onherleidbare representaties (irreps) van de rotatiegroep in gevallen, waarin de getallen en typen onherleidbare representaties op abstract niveau al bekend zijn. De CG-coëfficienten danken hun naam aan de Duitse wiskundigen Alfred Clebsch (1833-1872) en Paul Albert Gordan (1837-1912) die in de negentiende eeuw met een soortgelijk probleem in de invariantentheorie werden geconfronteerd.

In termen van de klassieke wiskunde kunnen CG-coëfficiënten, of althans degenen, die gekoppeld zijn aan de groep SO(3), directer worden gedefinieerd door middel van formules voor het vermenigvuldigen van sferische harmonischen. De toevoeging van spins in kwantummechanische termen kan rechtstreeks worden afgelezen uit deze aanpak. De onderstaande formules maken gebruik van de bra-ketnotatie van de Britse natuurkundige Paul Dirac.

Clebsch-Gordan-coëfficienten

Clebsch-Gordan-coëfficienten zijn de expansiecoëfficienten van de eigentoestanden van het totale impulsmoment in een ongekoppelde tensorproductbasis.

Hieronder worden deze CG-coëfficienten precies gedefinieerd door de definitie van impulsmomentoperatoren, impulsmomenteigentoestanden en het tensorproduct van deze impulseigentoestanden.

Uit deze formele definitie van het impulsmoment kunnen recursierelaties voor de CG-coëfficienten worden gevonden. Om numerieke waarden voor de CG-coëfficienten te vinden moet er een faseconventie worden gekozen. In de rest van dit artikel wordt de faseconventie van Condon en Shortley gebruikt.

Impulsmomentoperatoren

Impulsmomentoperatoren zijn Hermitische operatoren $\textrm{j}_x$, $\textrm{j}_y$, and $\textrm{j}_z$ die voldoen aan de commutatierelaties

$[\textrm{j}_k,\textrm{j}_l] = \textrm{j}_k \textrm{j}_l - \textrm{j}_l \textrm{j}_k = i\hbar \sum_m \varepsilon_{kl m}\textrm{j}_m, \quad\mathrm{waarbij}\quad k,l,m \in (x,y,z)$

Met $\varepsilon_{klm}$ de antisymmetrische tensor. Samen vormen deze drie operatoren een vectoroperator:

$\mathbf{j} = [\textrm{j}_x,\textrm{j}_y,\textrm{j}_z]$

Zo kan men het inproduct van ${\mathbf j}$ met zichzelf definiëren:

$\mathbf{j}^2 = \textrm{j}_x^2+\textrm{j}_y^2+\textrm{j}_z^2. \,$

En definiëren we de ladder operatoren:

$\textrm{j}_\pm = \textrm{j}_x \pm i \textrm{j}_y. \,$

Eigentoestanden van impulsmomentoperatoren

Uit bovenstaande definities volgt dat $\mathbf{j}^2$ commuteert met $\textrm{j}_x$, $\textrm{j}_y$ en $\textrm{j}_z$

$[\mathbf{j}^2, \textrm{j}_k] = 0\ \mathrm{for}\ k = x,y,z.$

Hieruit volgt dat $\mathbf{j}^2$ en $\textrm{j}_z$ een simultane set eigenfuncties hebben. Uit de definities volgt dat de enige mogelijke eigenwaarden worden gegeven door

$\begin{alignat}{2} &\mathbf{j}^2 |j\,m\rangle = \hbar^2 j(j+1) |j\,m\rangle \;\;\; j=0,\frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, 2, \ldots\\ &\textrm{j}_z|j\,m\rangle = \hbar m |j\,m\rangle \;\;\; m = -j, -j+1, \ldots , j. \end{alignat}$

De ladder operatoren verhogen en verlagen de waarde van $m$

$\textrm{j}_\pm |j\,m\rangle = C_\pm(j,m) |j\,m\pm 1\rangle$

met

$C_\pm(j,m) = \sqrt{j(j+1)-m(m\pm 1)} = \sqrt{(j\mp m)(j\pm m + 1)}.$

De factor $C_\pm(j,m)$ ligt op een fasefactor na vast. De keuze die hier aangehouden wordt is in overeenstemming met faseconventie van Condon en Shortley. De eigentoestanden zijn orthogonaal en kunnen genormeerd worden gekozen:

$\langle j_1\,m_1 | j_2\,m_2 \rangle = \delta_{j_1,j_2}\delta_{m_1,m_2}.$

Tensorproductruimte

Zij $V_1$ de $2j_1+1$ dimensionale vectorruimte opgespannen door

$|j_1 m_1\rangle,\quad m_1=-j_1,-j_1+1,\ldots j_1$

en $V_2$ de $2j_2+1$ dimensionale vectorruimte opgespannen door

$|j_2 m_2\rangle,\quad m_2=-j_2,-j_2+1,\ldots j_2.$

Het tensorproduct van de ruimten, $V_{12}\equiv V_1\otimes V_2$, heeft een $(2j_1+1)(2j_2+1)$ dimensionale ongekoppelde basis

$|j_1 m_1\rangle|j_2 m_2\rangle \equiv |j_1 m_1\rangle \otimes |j_2 m_2\rangle, \quad m_1=-j_1,\ldots j_1, \quad m_2=-j_2,\ldots j_2.$

Impulsmomentoperatoren werkend op $V_{12}$ zijn gedefinieerd door

$(\textrm{j}_i \otimes 1)|j_1 m_1\rangle|j_2 m_2\rangle \equiv (j_i|j_1m_1\rangle) \otimes |j_2m_2\rangle$

en

$(1 \otimes \textrm{j}_i) |j_1 m_1\rangle|j_2 m_2\rangle \equiv |j_1m_1\rangle \otimes j_i|j_2m_2\rangle \quad\mathrm{voor}\quad i = x,y,z.$

De totaal impulsmomentoperator is gedefinieerd door

$\textrm{J}_i = \textrm{j}_i \otimes 1 + 1 \otimes \textrm{j}_i\quad\mathrm{voor}\quad i = x,y,z.$

De componenten van de totaal impulsmoment operator voeldoen aan de commutatierelaties

$[\textrm{J}_k,\textrm{J}_l] = i\hbar\epsilon_{klm}\textrm{J}_m, \quad \mathrm{waar}\quad k,l,m \in (x,y,z).$

Hieruit volgt dus dat de totaal impulsmoment operator daadwerkelijk een impulsmoment operator is, en dat zijn mogelijke eigenwaarden en eigentoestanden gegeven worden door

$\begin{align} \mathbf{J}^2 |JM\rangle &= \hbar^2 J(J+1) |JM\rangle \\ \textrm{J}_z |JM\rangle &= \hbar M |JM\rangle,\quad \mathrm{voor}\quad M=-J,\ldots,J. \end{align}$

Het aantal van totaal impulsmomenteigentoestanden is gelijk aan de dimensie van $V_{12}$

$\sum_{J=|j_1-j_2|}^{j_1+j_2} (2J+1) = (2j_1+1)(2j_2+1).$

De totaal impulsmomenttoestanden vormen een orthonormale basis van $V_{12}$

$\langle J_1 M_1 | J_2 M_2 \rangle = \delta_{J_1J_2}\delta_{M_1M_2}.$

Formele definitie van Clebsch-Gordan-coëfficienten

De totale impulsmomenttoestanden kunnen worden geëxpandeerd door gebruik te maken van de volledigheidsrelatie in de ongekoppelde basis

$|JM\rangle = \sum_{m_1=-j_1}^{j_1} \sum_{m_2=-j_2}^{j_2} |j_1m_1j_2m_2\rangle \langle j_1m_1j_2m_2|JM\rangle$

De expansiecoëfficienten $\langle j_1m_1j_2m_2|JM\rangle$ worden Clebsch-Gordan-coëfficienten genoemd.

Door het toepassen van de operator

$\textrm{J}_z = \textrm{j}_z \otimes 1 + 1 \otimes \textrm{j}_z$

aan beide kanten van de vergelijking kan men laten zien dat de Clebsch-Gordan-coëfficienten kunnen alleen ongelijk aan nul zijn als

$M = m_1 + m_2.\,$

Aangezien de maximale projectie gegeven wordt door $M = j_1 + j_2$ volgt uit de kwantisatie van impulsmoment dat $J \leq j_1 + j_2$. Naast alle $2J+1$ toestanden met $J = j_1 + j_2$ kan men dit argument herhalen voor $J = j_1 + j_2 - 1$. Dit gaat echter niet eeuwig door, en met een beetje boekhouden vinden we dat moet gelden

$| j_1 - j_2 | \leq J \leq j_1 + j_2.$

Dit zijn de zogenaamde driehoeks relaties.

Recursierelaties

De recursierelaties werden ontdekt door de natuurkundige Giulio Racah. Toepassen van de totale impulsmomentladderoperatoren

$\textrm{J}_\pm = \textrm{j}_\pm \otimes 1 + 1 \otimes \textrm{j}_\pm$

aan de linker kant van de vergelijking levert

$\textrm{J}_\pm|(j_1j_2)JM\rangle = C_\pm(J,M) |(j_1j_2)JM\pm 1\rangle = C_\pm(J,M)\sum_{m_1m_2}|j_1m_1\rangle|j_2m_2\rangle \langle j_1 m_1 j_2 m_2|J M\pm 1\rangle.$

Als men dezelfde operatoren aan de rechter kant toepast levert dit

$\begin{align} \textrm{J}_\pm & \sum_{m_1m_2} |j_1m_1\rangle|j_2m_2\rangle \langle j_1m_1j_2m_2|JM\rangle\\ & =\sum_{m_1m_2}\left[ C_\pm(j_1,m_1)|j_1 m_1\pm 1\rangle |j_2m_2\rangle +C_\pm(j_2,m_2)|j_1 m_1\rangle |j_2 m_2\pm 1\rangle \right] \langle j_1 m_1 j_2 m_2|J M\rangle \\ &= \sum_{m_1m_2} |j_1m_1\rangle|j_2m_2\rangle \left[ C_\pm(j_1,m_1\mp 1) \langle j_1 {m_1\mp 1} j_2 m_2|J M\rangle +C_\pm(j_2,m_2\mp 1) \langle j_1 m_1 j_2 {m_2\mp 1}|J M\rangle \right]. \end{align}$

op, waarbij

$C_\pm (j,m) = \sqrt{ j(j+1) - m(m\pm 1) }.$

Combinieert men deze resultaten met elkaar, levert dit de recursierelaties op voor de Clebsch-Gordan-coëfficienten

$C_\pm(J,M) \langle j_1 m_1 j_2 m_2|J M\pm 1\rangle = C_\pm(j_1,m_1\mp 1) \langle j_1 {m_1\mp 1} j_2 m_2|J M\rangle + C_\pm(j_2,m_2\mp 1) \langle j_1 m_1 j_2 {m_2\mp 1}|J M\rangle.$

Neemt men de $C_+$ en $M=J$ krijgt men

$0 = C_+(j_1,m_1-1) \langle j_1 {m_1-1} j_2 m_2|J J\rangle + C_+(j_2,m_2-1) \langle j_1 m_1 j_2 m_2-1|J J\rangle.$

In de Condon en Shortley faseconventie is de coëfficient $\langle j_1 j_1 j_2 J-j_1|J J\rangle$ reëel en posotief. Door gebruik maken van de laatste vergelijking kan men alle andere CGC $\langle j_1 m_1 j_2 m_2|J J\rangle$ bepalen. De normalizatie is bepaald door de eis dat de som van de kwadraten, die met de norm van de toestand correspondeert state $|(j_1j_2)JJ\rangle$, gelijk aan een moet zijn.

De andere coëfficient ($C_-$) in de recursierelatie kan worden gebruikt om alle CGC te vinden met $M=J-1$. Door iteratief gebruik van deze vergelijking kan men alle coëfficienten bepalen.

Deze manier om de CGC te vinden, wijst erop dat ze allemaal reëel zijn (in de Condon en Shortley conventie).

Expliciete uitdrukking

Voor een expliciete uitdrukking van de Clebsch-Gordan-coëfficienten en tabellen met numerieke waarden, zie Tabel van de Clebsch-Gordan-coëfficienten.

Orthogonaliteit

Door de faseconventie van Condon en Shortley zijn de CGC reëel en dus

$\langle J M|j_1 m_1 j_2 m_2\rangle \equiv \langle j_1 m_1 j_2 m_2|J M\rangle$

Dan vinden we, met de resolutie van de identiteit $1\equiv \sum_x | x \rangle\langle x|$, de relaties

$\sum_{J=|j_1-j_2|}^{j_1+j_2} \sum_{M=-J}^{J} \langle j_1 m_1 j_2 m_2|J M\rangle\langle J M|j_1 m_1' j_2 m_2'\rangle= \langle j_1 m_1 j_2 m_2 | j_1 m_1' j_2 m_2'\rangle = \delta_{m_1,m_1'}\delta_{m_2,m_2'}$

en

$\sum_{m_1m_2} \langle J M|j_1 m_1 j_2 m_2\rangle \langle j_1 m_1 j_2 m_2|J' M'\rangle = \langle J M | J' M'\rangle = \delta_{J,J'}\delta_{M,M'}.$

Dit heeft tot gevolg dat de relatie

$|(j_1j_2)JM\rangle = \sum_{m_1=-j_1}^{j_1} \sum_{m_2=-j_2}^{j_2} |j_1m_1j_2m_2\rangle \langle j_1m_1j_2m_2|JM\rangle$

kan worden geïnverteerd. Dit geeft

$|j_1m_1j_2m_2\rangle = \sum_{J=|j_1-j_2|}^{j_1+j_2} \sum_{M=-J}^{J} |(j_1j_2)JM\rangle \langle j_1m_1j_2m_2|JM\rangle.$

Speciale gevallen

Voor $J=0$ worden de CGC gegeven door

$\langle j_1 m_1 j_2 m_2 | 0 0\rangle = \delta_{j_1,j_2}\delta_{m_1,-m_2} \frac{(-1)^{j_1-m_1}}{\sqrt{2j_2+1}}.$

Voor $J=j_1+j_2$ en $M=J$ hebben we

$\langle j_1 j_1 j_2 j_2 | (j_1+j_2) (j_1+j_2)\rangle = 1.$

Voor $j_1 = j_2 = J/2$ en $m_2 = -m_1$ hebben we

$\langle j_1 m_1 j_1 -m_1 | 2j_1 0\rangle = \frac{(2j_1)!^2}{(j_1 - m_1)! (j_1 + m_1)! \sqrt{(4 j_1)!}}.$

Voor $j_1 = j_2 = m_1 = -m_2$ hebben we

$\langle j_1 j_1 j_1 -j_1 | J 0\rangle = (2j_1)! \sqrt{\frac{2J+1}{(J+2j_1+1)!(2j_1 - J)!}}.$

Symmetrie-eigenschappen

$\begin{align} \langle j_1 m_1 j_2 m_2|J M\rangle \\ & = (-1)^{j_1+j_2-J} \langle j_1\, {-m_1} j_2 \, {-m_2}|J \, {-M}\rangle \\ & = (-1)^{j_1+j_2-J} \langle j_2 m_2 j_1 m_1|J M\rangle \\ & = (-1)^{j_1 - m_1} \sqrt{\frac{2 J +1}{2 j_2 +1}} \langle j_1 m_1 J \, {-M}| j_2\,{-m_2} \rangle \\ & = (-1)^{j_2 + m_2} \sqrt{\frac{2 J +1}{2 j_1 +1}} \langle J \, {-M} j_2 m_2| j_1 \, {-m_1} \rangle \\ & = (-1)^{j_1 - m_1} \sqrt{\frac{2 J +1}{2 j_2 +1}} \langle J M j_1 \, {-m_1} | j_2 m_2 \rangle \\ & = (-1)^{j_2 + m_2} \sqrt{\frac{2 J +1}{2 j_1 +1}} \langle j_2 \, {-m_2} J M | j_1 m_1 \rangle \end{align}$

Relatie met 3-jm-symbolen

CGC zijn uit te drukken in 3-jm-symbolen

$\langle j_1 m_1 j_2 m_2 | j_3 m_3 \rangle = (-1)^{j_1-j_2+m_3}\sqrt{2j_3+1} \begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j_3\\ m_1 & m_2 & -m_3 \end{pmatrix},$

en de inverse relatie

$\begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j_3\\ m_1 & m_2 & m_3 \end{pmatrix} \equiv \frac{(-1)^{j_1-j_2-m_3}}{\sqrt{2j_3+1}} \langle j_1 m_1 j_2 m_2 | j_3 \, {-m_3} \rangle.$

De 3-jm-symbolen hebben een hogere symmetrie.

Relatie met Wigner-D-matrices

$\int_0^{2\pi} d\alpha \int_0^\pi \sin\beta d\beta \int_0^{2\pi} d\gamma D^J_{MK}(\alpha,\beta,\gamma)^\ast D^{j_1}_{m_1k_1}(\alpha,\beta,\gamma) D^{j_2}_{m_2k_2}(\alpha,\beta,\gamma) = \frac{8\pi^2}{2J+1} \langle j_1 m_1 j_2 m_2 | J M \rangle \langle j_1 k_1 j_2 k_2 | J K \rangle.$

Andere eigenschappen

$\sum_m (-1)^{j-m} \langle j m j {-m} | J 0 \rangle = \sqrt{2j+1} ~ \delta_{J0}$

Zie ook

• 3-jm-symbool
• Racah W-coefficient
• 6-j-symbool
• 9-j-symbool
• Sferische harmonische
• Geassocieerde Legendrepolynoom
• Legendre-polynomen
• Impulsmoment
• Impulsmomentkoppeling
• Totaal impulsmoment kwantumgetal
• Magnetisch kwantumgetal
• Tabel van Clebsch-Gordan-coefficienten
• Wigner-D-matrix

Externe links

• PDF tabel met Clebsch–Gordan Coefficienten, Spherische Harmonischen, en d-functies
• Clebsch–Gordan, 3-jm and 6-j coefficienten web calculator
• Downloadable Clebsch–Gordan Coefficient Calculator voor Mac en Windows
• Web interface voor tabulating SU(N) Clebsch–Gordan coefficienten

Lees ook

• Quantum mechanics, E. Zaarur, Y. Peleg, R. Pnini, Schaum’s Easy Oulines Crash Course, Mc Graw Hill (USA), 2006, ISBN (10-)007-145533-7 ISBN (13-)978-007-145533-6
• Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei, and Particles (2nd Edition), R. Eisberg, R. Resnick, John Wiley & Sons, 1985, ISBN 978-0-471-873730
• Quantum Mechanics, E. Abers, Pearson Ed., Addision Wesley, Prentice Hall Inc, 2004, ISBN 9780131461000
• Physics of Atoms and Molecules, B.H. Bransden, C.J.Joachain, Longman, 1983, ISBN 0-582-44401-2
• The Cambridge Handbook of Physics Formulas, G. Woan, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2.
• Encyclopaedia of Physics (2nd Edition), R.G. Lerner, G.L. Trigg, VHC publishers, 1991, ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, ISBN (VHC Inc.) 0-89573-752-3
• McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (2nd Edition), C.B. Parker, 1994, ISBN 0-07-051400-3
• Biedenharn, L. C.; Louck, J. D.. Angular Momentum in Quantum Physics, Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, 1981 ISBN 0201135078.
• Brink, D. M.; Satchler, G. R.. Angular Momentum, 3rd, Clarendon Press, Oxford, 1993, “Ch. 2” ISBN 0-19-851759-9.
• Condon, Edward U.; Shortley, G. H.. The Theory of Atomic Spectra, Cambridge University Press, Cambridge, 1970, “Ch. 3” ISBN 0-521-09209-4.
• Edmonds, A. R. Angular Momentum in Quantum Mechanics, Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1957 ISBN 0-691-07912-9.
• Messiah, Albert Quantum Mechanics (Volume II), North Holland Publishing, New York, 1981, “Ch. XIII” ISBN 0-7204-0045-7.
• Zare, Richard N. Angular Momentum, John Wiley & Sons, New York, 1988, “Ch. 2” ISBN 0-471-85892-7.