Clifford-algebra

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Een Clifford-algebra is een algebraïsche structuur die als uitbreiding van het begrip complex getal te zien is. De voorstelling (representatie) ervan gebeurt met matrices. Het begrip is sterk verwant aan het begrip quaternion.

Matrixrepresentaties van reële Clifford-algebra's[bewerken]

We moeten anticommuterende matrices (AB = −BA) bestuderen omdat in Clifford algebra's orthogonale vectoren anticommuteren.

 A \cdot B = \frac{1}{2}( AB + BA ) = 0

Voor Clifford algebra \mathbb{R}_{p,q}\,, hebben we p + q onderling anticommuterende matrices nodig, waarvan er p als kwadraat +1 hebben en q als kwadraat −1 hebben.

 \begin{matrix}
\gamma_a^2 &=& +1 &\mbox{als} &1 \le a \le p \\
\gamma_a^2 &=& -1 &\mbox{als} &p+1 \le a \le p+q\\
\gamma_a \gamma_b &=& -\gamma_b \gamma_a &\mbox{als} &a \ne b \ \\
\end{matrix}

Een dergelijke basis van gamma-matrices is niet uniek. Men kan altijd een andere verzameling van gamma-matrices vormen voor dezelfde Clifford algebra door een gelijkvormigheidstransformatie.

 \begin{matrix}
\gamma_{a'} &=& S &\gamma_{a } &S^{-1}
\end{matrix}

waarin S een niet-singuliere matrix is (determinant niet nul). De beide verzamelingen van gamma-matrices behoren tot dezelfde equivalentieklasse.

Intermezzo: het K-system om matrices te benoemen[bewerken]

De volgende methode om 2n × 2n matrices te benoemen zal gebruikt worden:


K_0 = \begin{pmatrix} 1&0\\0&1 \end{pmatrix},
K_1 = \begin{pmatrix} 0&1\\1&0 \end{pmatrix},
K_2 = \begin{pmatrix} 0&-1\\1&0 \end{pmatrix},
K_3 = \begin{pmatrix} 1&0\\0&-1 \end{pmatrix}.

Merk op dat K0 de eenheidsmatrix is. De namen zijn zo gekozen dat men de vermenigvuldiging gemakkelijk kan onthouden:

K1 K2 = K3
K1 K3 = K2
K2 K3 = K1
K2 K1 = −K3
K3 K1 = −K2
K3 K2 = −K1.

Een stijgende index geeft een positief resultaat. Een dalende index geeft een negatief resultaat.

Opgelet! Dit zijn NIET dezelfde regels als die voor de vermenigvuldiging van de klassieke quaternionen. Als men stelt dat i = i1, j = i2 en k = i3 dan zouden de regels zijn

i1i2=i3
i2i3=i1
i3i1=i2

de laatste regel is verschillend. We zullen later zien dat de pure quaternionen i,j en k voorgesteld kunnen worden door K12,K20 en K32

Bemerk dat

 K_0^2 = K_1^2 = K_3^2 = K_0
 K_2^2 = - K_0

K2 is de enige met een negatief kwadraat, hij is de eenvoudigste matrixrepresentatie van het imaginair getal i

Nu is het eenvoudig om alle Kronecker-producten een naam te geven:


K_{ab} = K_{a} \otimes K_{b}

K_{abc} = K_{a} \otimes K_{bc}= K_{a} \otimes K_{b} \otimes K_{c}

Enkele voorbeelden


K_{30} = 
\begin{pmatrix}
1&0&0&0\\
0&1&0&0\\
0&0&-1&0\\
0&0&0&-1
\end{pmatrix},

K_{11} = 
\begin{pmatrix}
0&0&0&1\\
0&0&1&0\\
0&1&0&0\\
1&0&0&0
\end{pmatrix}

Elke index heeft zijn niveau ( 2x2, 4x4, 8x8, 16x16, ...)

K13 is een K3 op niveau 2x2 en een K1 op niveau 4x4. Met deze notatie is het zeer gemakkelijk om grote vierkant matrices te vermenigvuldigen vanwege de eigenschap van het Kronecker-product,

 (A \otimes B)(C \otimes D) = AC \otimes BD

Laat ons eens enkele voorbeelden uitwerken

K123 K222 = K301
8x8-niveau 1 maal 2 geeft 3
4x4-niveau 2 maal 2 geeft 0 maar we onthouden een min-teken
2x2-niveau 3 maal 2 geeft 1 maar we onthouden opnieuw een min-teken

(de twee min-tekens neutraliseren elkaar, dus het resultaat is K301)

Met deze methode kan men eenvoudig sets construeren van onderling anticommuterende orthogonale matrices ook wel Diracmatrices genoemd. Het is duidelijk dat twee dergelijke matrices anticommuteren als ze anticommuteren in een oneven aantal indices (index o commuteert met alle andere indices).

K13 anticommuteert bijvoorbeeld met

K01,K02,K11,K12,K20,K23,K30,K33

en commuteert met

K00,K10,K13,K21,K22,K31,K32.

Als de index 2 een even aantal keer in de naam voorkomt, dan is het kwadraat van de matrix plus de eenheidsmatrix. Noem een dergelijke matrix een Kplus.

voorbeelden zijn K1, K22, K311, K2222

Als de index 2 een oneven aantal keren in de naam voorkomt, dan is het kwadraat min de eenheidsmatrix. Noem een dergelijke matrix een Kmin.

voorbeelden zijn K2, K222, K211, K1222

Nu volgen eenvoudig de grootst mogelijke sets van onderling anticommuterende matrices.

Begin met een bestaande set {K1,K2,K3}

Voeg een nieuwe index toe die voor alle matrices gelijk is (bijvoorbeeld een 1 in eerste positie) Dit geeft {K11,K12,K13}

Het is mogelijk twee matrices toe te voegen die anticommuteren op het nieuwe niveau en commuteren op het oude niveau (door middel van index 0)

Dit geeft {K11, K12, K13, K20, K30}

Andere voorbeelden

{K21, K22, K23, K10, K30}
{K31, K32, K33, K10, K20}
{K111, K112, K113, K120, K130, K200, K300}
{K211, K212, K213, K220, K230, K100, K300}
{K311, K312, K313, K320, K330, K100, K200}

Men krijgt steeds een oneven aantal matrices en er is altijd één Kplus meer dan er Kmin zijn. Elk van deze matrices kan geschreven worden als het product van alle andere. Bijvoorbeeld K11 K12 K13 K20 = K30

Nu volgen eerst enkele algebra's met stijgend aantal basisvectoren, nadien volgt een uiteenzetting over de periodiciteit in de representaties van de reële Clifford algebra's.

Reële Clifford-algebra R2,0[bewerken]

p = 2 en q =0 dus hebben we 2 Kplus nodig als basisvectoren

graad 0 (het scalair)

 \begin{matrix} 1 = K_0 \end{matrix}

graad 1 (de vectoren)

 \gamma_1 = K_1 \Rightarrow \gamma_1^2 = K_0 = 1
 \gamma_2 = K_3 \Rightarrow \gamma_2^2 = K_0 = 1

graad 2 (het pseudoscalair)

 \gamma_1 \land \gamma_2 = \frac{1}{2}(\gamma_1 \gamma_2 - \gamma_2 \gamma_1 ) = \gamma_1 \gamma_2 = K_2 \Rightarrow (\gamma_1 \land \gamma_2)^2 = (\gamma_1 \gamma_2)^2 = K_2^2 = -1

n = p + q = 2 en we hebben 22 = 4 elementen, dus is het wat I. Porteous noemt een universele Clifford algebra.

De elementen met even graad ( graad 0 en graad 2) vormen de deelalgebra van de complexe getallen.
Elk complex getal a + bi komt overeen met  a K_0 + b K_2

Reële Clifford-algebra R1,1[bewerken]

p = 1 en q = 1 dus hebben we 1 Kplus en 1 Kmin als basisvectoren

graad 0 (het scalair)

 \begin{matrix} 1 = K_0 \end{matrix}

graad 1 (de vectoren)

 \gamma_1 = K_1 \Rightarrow \gamma_1^2 = K_0 = 1
 \gamma_2 = K_2 \Rightarrow \gamma_2^2 = -K_0 = -1

graad 2 (het pseudoscalair)

 \gamma_1 \land \gamma_2 = \gamma_1 \gamma_2 = K_3 \Rightarrow (\gamma_1 \land \gamma_2)^2 = (\gamma_1 \gamma_2)^2 = K_3^2 = K_{0} = 1

Hier hebben we opnieuw 2n elementen in de algebra met n = p + q dus is het opnieuw een universele Clifford algebra

Reële Clifford-algebra R2,1[bewerken]

p = 2 en q = 1 dus hebben we 2 Kplus basisvectoren en 1 Kmin basisvector

graad 0 (het scalair)

 \begin{matrix} 1 = K_0 \end{matrix}

graad 1 (de vectoren)

 \gamma_1 = K_1 \Rightarrow \gamma_1^2 =  K_0 =  1
 \gamma_2 = K_3 \Rightarrow \gamma_2^2 =  K_0 =  1
 \gamma_3 = K_2 \Rightarrow \gamma_3^2 = -K_0 = -1

De signatuur is ( + + - )

graad 2 (de bivectoren)

 \gamma_1 \land \gamma_2 = \gamma_3 = K_2 \Rightarrow (\gamma_1 \land \gamma_2)^2 = -1
 \gamma_1 \land \gamma_3 = \gamma_2 = K_3 \Rightarrow (\gamma_1 \land \gamma_3)^2 = +1
 \gamma_2 \land \gamma_3 = -\gamma_1 = -K_1 \Rightarrow (\gamma_2 \land \gamma_3)^2 = +1

graad 3 (het pseudoscalair)

 \gamma_1 \land \gamma_2 \land \gamma_3 = -1 \Rightarrow (\gamma_1 \land \gamma_2 \land \gamma_3)^2 = (-1)^2 = +1

Dit is het eerste voorbeeld van een niet-universele Clifford algebra omdat p + q = 3 en we toch maar 22 elementen hebben en niet 23. Elke matrix wordt namelijk 2 maal gebruikt, een keer als vector en een keer als bivector. Het pseudoscalair is min het scalair.

Reële Clifford-algebra R0,2[bewerken]

Hier is p = 0 en q = 2 dus hebben we 2 anticommuterende Kmin-matrices als basisvectoren. Dit is onmogelijk met reële 2×2 matrices dus moeten we 4×4 matrices gebruiken, er zijn vele mogelijkheden. Deze algebra is isomorf met de ring H van de quaternionen.

graad 0 (het scalair)

 \begin{matrix} 1 = K_{00} \end{matrix}

graad 1 (de vectorenthe)

 \gamma_1 = K_{12} \Rightarrow \gamma_1^2 = -K_{00} = -1
 \gamma_2 = K_{20} \Rightarrow \gamma_2^2 = -K_{00} = -1

De Signatuur is (− −)

graad 2 (het pseudoscalair)

 \gamma_1 \land \gamma_2 = K_{12}K_{20} = K_{32} \Rightarrow (\gamma_1 \land \gamma_2)^2 = K_{32}^2 = -K_{00} = -1

Het isomorfisme met de quaternionen gaat als volgt:

1 is scalair, i en j zijn vectoren en k = ij is het pseudoscalair.

Elk Cliffordgetal is een lineaire combinatie van de vier elementen 1, i, j and k

 \begin{matrix} 1 = K_{00}, &i = K_{12}, &j = K_{20} &k = K_{32} \end{matrix}

Het gebruik van k als pseudoscalair ( i maal j ) is een beetje vreemd maar volstrekt correct.

Reële Clifford-algebra R0,3[bewerken]

p = 0 and q = 3 dus hebben we 3 Kmin basisvectoren, dit is de meer gebruikelijke manier van werken met de quaternionen i, j en k zijn nu vectoren en ijk = -1 is het pseudoscalair. Ook deze algebra is isomorf met de quaternionen.

graad 0 (het scalair)

 \begin{matrix} 1 = K_0 \end{matrix}

graad 1 (de vectoren)

 \gamma_1 = K_{12} = i \Rightarrow \gamma_1^2 = -K_{00} = -1
 \gamma_2 = K_{20} = j \Rightarrow \gamma_2^2 = -K_{00} = -1
 \gamma_3 = K_{32} = k \Rightarrow \gamma_3^2 = -K_{00} = -1

De signatuur is ( - - - )

graad 2 (de bivectoren)

 \gamma_1 \land \gamma_2 = K_{12} K_{20} = K_{32} = \gamma_3
 \gamma_3 \land \gamma_1 = K_{32} K_{12} = K_{20} = \gamma_2
 \gamma_2 \land \gamma_3 = K_{20} K_{32} = K_{12} = \gamma_1

graad 3 (het pseudoscalair)

 \gamma_1 \land \gamma_2 \and \gamma_3 = K_{12} K_{20} K_{32} = -K_{00} = -1

Een Cliffordgetal is hier opnieuw een lineaire combinatie van de 4 elementen 1 i j en k. Het gebruik van -1 als pseudoscalair (ijk) is zoals we het gewoon zijn, maar het maakt dat deze algebra een nieuw voorbeeld is van een niet-universele Clifford algebra, omdat p + q = 3 en we slechts 22 verschillende elementen hebben die dubbel gebruikt worden.

Reële Clifford-algebra R3,0[bewerken]

Deze is gelijk aan de befaamde Paulialgebra, als men K02 laat fungeren als i en K00 als 1. We hebben 3 Kplus als basisvectoren.

graad 0 (het scalair)

 \begin{matrix} 1 = K_0 \end{matrix}

graad 1 (de vectoren)

 \gamma_1 = K_{10} = \sigma_1 \Rightarrow \gamma_1^2 = K_{00} = +1
 \gamma_2 = K_{22} = \sigma_2 \Rightarrow \gamma_2^2 = K_{00} = +1
 \gamma_3 = K_{30} = \sigma_3 \Rightarrow \gamma_3^2 = K_{00} = +1

De signatuur is ( + + + )

graad 2 (bivectoren)

 \sigma_1 \land \sigma_2 = K_{10} K_{22} = K_{32} = K_{02} K_{30}= i \sigma_3
 \sigma_3 \land \sigma_1 = K_{30} K_{10} = -K_{20} = K_{02}K_{22} = i \sigma_2
 \sigma_2 \land \sigma_3 = K_{22} K_{30} = K_{12} = K_{02} K_{10} = i \sigma_1

graad 3 (pseudoscalair)

 \sigma_1 \land \sigma_2 \and \sigma_3 = K_{10} K_{22} K_{30} = K_{02} = i