Codomein

Afbeelding van een functie (f) van X (links) op Y (rechts). De kleinere mosterdgele ovaal in Y is het bereik van f. Y is het codomein van f.

In de wiskunde is het codomein, of doel, van een functie $f \,$ : $X \,$ → $Y \,$ De verzameling $Y$.

In tegenstelling tot het bereik, dat een gevolg is van de definitie van een functie, maakt het codomein deel uit van de definitie van een functie. Het bereik is een deelverzameling van het codomein en hangt af (dat wil zeggen is een gevolg van) van de definitie van het domein, het codomein en de grafiek van de functie

Het domein van $f$ is de verzameling $X \,$.

Voorbeelden

Laat als een voorbeeld de functie $f$ een functie zijn op de reële getallen:

$f\colon \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$

gedefinieerd door

$f\colon\,x\mapsto x^2.$

Het codomein van $f$ is $\mathbb{R}$, maar het zal duidelijk zijn dat f niets afbeeldt op de negatieve getallen.

Het bereik van f is dus de verzameling $\mathbb{R}^+_0$, dat wil zeggen het interval [0,∞) waar:

$0\leq f(x)<\infty.$

We kunnen als volgt een alternatieve functie $g$ definiëren:

$g\colon\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^+_0$

$g\colon\,x\mapsto x^2.$

Hoewel $f$ en $g$ een gegeven x op hetzelfde getal mappen, zijn beide functies, in de moderne zienswijze, niet dezelfde functie, dit omdat beide functies verschillende codomeinen hebben. Om te zien waarom beide functies niet aan elkaar gelijk zijn, definiëren we een derde functie h:

$h\colon\,x\mapsto \sqrt x.$

Wij definiëren het domein van h als $\mathbb{R}^+_0$:

$h\colon\mathbb{R}^+_0\rightarrow\mathbb{R}$.

Nu definiëren we samengestelde functies

$h \circ f$,

$h \circ g$.

Het blijkt dat $h \circ f$ geen betekenis heeft. Laten we aannemen dat we niet weten wat het bereik van $f$ is, we weten alleen dat het $\mathbb{R}$ kan zijn. Maar dan zijn we in de problemen omdat de wortel niet is gedefinieerd voor negatieve getallen. Nu hebben we een mogelijke tegenstrijdigheid omdat de functie h, wanneer deze wordt samengesteld op de functie f, misschien een argument krijgt dat deze functie "niet aankan."

Deze onduidelijkheid moet worden weggenomen. Een functie-compositie vereist daarom per definitie dat het codomein van de functie aan de rechterkant van de samenstelling hetzelfde moet zijn als het domein van de functie aan de linkerkant van de samenstelling. Let op: het gaat hier om het codomein en uitdrukkelijk niet om het bereik van de functie. Het bereik is een gevolg van een functie en is op het niveau van functie-compositie per definitie onbepaald.

Het codomein beïnvloedt de vraag of een functie surjectief is. In ons voorbeeld is $g$ een surjectie, terwijl $f$ dat niet is. Het codomein heeft geen invloed op het feit of een functie al dan niet injectief is.

Zie ook

• Afbeelding
• Functie
• Domein
• Beeld
• Definitiegebied
• Bereik
• Injectie
• Surjectie
• Bijectie