Cohomologie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Cohomologiegroepen of cohomologie-modulen zijn samen met het duale begrip homologieën het centrale studie-object van de homologische algebra. Zie het artikel homologie voor een inleidende motivering van het onderwerp.

Definitie[bewerken]

Voor een gegeven coketencomplex van R-modulen

\cdots\stackrel{d_{n-1}}{\to}A_n\stackrel{d_n}{\to}A_{n+1}\stackrel{d_{n+1}}{\to}A_{n+2}\stackrel{d_{n+2}}{\to}\cdots

is de n-de cohomologie het factormoduul tussen de kern van een morfisme en het beeld van het vorige morfisme:

H^n=\hbox{Ker}\,d_n/\hbox{Im}\,d_{n-1}

Het feit dat de kern van elk morfisme het beeld van het vorige morfisme als deelmoduul omvat, volgt uit de definitie van een coketencomplex. Men kan ook zeggen dat de cohomologie bestaat uit de cocykels modulo de coranden.

Als de keten exact is in een moduul An, dan zijn kern en beeld op die plaats gelijk en is de n-de cohomologie het triviale moduul {0}. De cohomologie geeft dus aan, in welke mate een coketencomplex afwijkt van exactheid.

Men spreekt ook van cohomologiegroep in het geval dat alle beschouwde structuren modulen over de ring der gehele getallen, en dus abelse groepen, zijn.

Voorbeeld[bewerken]

De de Rham-cohomologie van een oriënteerbare gladde variëteit wordt gevormd met het de Rham-complex, dit zijn de differentiaalvormen van orde n. De beschouwde structuren zijn reële vectorruimten - ze worden op isomorfisme na gekarakteriseerd door hun dimensie.

De nulde cohomologie wordt gevormd door de scalaire functies waarvan de differentiaal nul is, modulo de constanten. Dit is de (d-1)-dimensionale reële vectorruimte, waar d het aantal samenhangscomponenten is van de variëteit.

De eerste cohomologie is het tensorproduct van \mathbb{R} met de abelianisering van de fundamentaalgroep, en meet dus het ruwweg het aantal "gaten" in de variëteit.