Commutatief diagram
Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
In de wiskunde en vooral in de categorietheorie is een commutatief diagram een diagram van objecten, ook wel bekend als hoekpunten (vertices) en van morfismen, ook bekend als pijlen of randen, zodanig dat wanneer er twee objecten worden geselecteerd elk gericht pad door het diagram door samenstelling tot hetzelfde resultaat leidt. Commutatieve diagrammen spelen dezelfde rol in de categorietheorie die vergelijkingen spelen in de algebra.
Inhoud |
[bewerken] Voorbeelden
De eerste isomorfisme stelling wordt hieronder in een commutatieve driehoek weergegeven:
Dit diagram commuteert dan en slechts dan als 
. De dubbele pijl geeft aan dat 
surjectief is en de gehoekte staart geeft aan dat ι injectief is.
Op dezelfde wijze commuteert het bovenstaande vierkant dan en slechts dan als 
.
[bewerken] Symbolen
In algebra teksten wordt de aard van een morfisme aangeduid door de verschillende manieren waarop pijlen worden gebruikt: monomorfismen worden als een 
, epimorfismen als een 
en isomorfismen als een 
afgebeeld. Deze afbeeldingswijze is gebruikelijk genoeg dat in de voetnoten vaak gaan uitleg wordt geven over de betekenis van deze verschillende pijlen.
[bewerken] Verifiëren van de commutativiteit
Commutativiteit is zinvol voor een veelhoek met een eindig aantal zijden (ook als het er maar 1 of 2 zijn), en een diagram is commutatief als elk veelhoekige subdiagram commutatief is.
[bewerken] Diagramjagen
Diagramjagen is een wiskundige bewijs methode die vooral in de homologische algebra wordt gebruikt. Gegeven een commutatief diagram betekent een bewijs door diagrammenjagen het formele gebruik van de eigenschappen van het diagram, zoals Injectieve of surjectieve afbeeldingen, of ook exacte volgorden. Er wordt een syllogisme geconstrueerd, waarvan de grafische weergave van het diagram een visueel hulpmiddel is. De clou zit hem erin dat men de elementen door het diagram heen "jaagt", totdat het gewenste element of resultaat daadwerkelijk is geconstrueerd of geverifieerd.
Voorbeelden van bewijzen die typisch door diagramjagen kunnen worden uitgevoerd zijn de bewijzen voor de vijf lemma, de slang lemma, de zig-zag lemma en de negen lemma.
