Commutatieve ring

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de ringtheorie, een onderdeel van de abstracte algebra, is een commutatieve ring een ring, waarin de bewerking , die overeenkomt met de vermenigvuldig, commutatief is. Dit houdt in dat als a en b willekeurige elementen van de ring zijn dat dan ab = ba geldt. De studie van commutatieve ringen wordt de commutatieve algebra genoemd.

Definitie[bewerken]

1rightarrow blue.svg Zie Ring (wiskunde) voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Een ring is een verzameling R die is uitgerust met twee binaire operaties, dat wil zeggen bewerkingen, die een willekeurige combinatie van twee elementen van de ring tot een derde element combineren. De twee bewerkingen worden optellen en vermenigvuldigen genoemd en worden vaak aangeduid met "+" en "⋅", bijvoorbeeld a + b en ab. Om een ring te vormen moeten deze twee operaties voldoen aan een aantal eigenschappen: de ring moet onder optelling een abelse groep en onder vermenigvuldiging een monoïde zijn, zodanig dat de vermenigvuldiging en de optelling distributief zijn, dat wil zeggen

a ⋅ (b + c) = (ab) + (ac).

De neutrale elementen voor optellen en vermenigvuldigen worden respectievelijk aangeduid door 0 en 1. Wanneer bovendien ook de vermenigvuldiging commutatief is, dat wil zeggen

ab = ba,

dan wordt de ring R commutatief genoemd.

Voorbeelden[bewerken]

  • Het belangrijkste voorbeeld van een commutatieve ring zijn de gehele getallen met de twee operaties van optellen en vermenigvuldigen. De gewone vermenigvuldiging van getallen is commutatief. Deze ring wordt in de literatuur meestal aangeduid met Z, van het Duitse woord Zahlen voor getallen.
  • De rationele-, reële- en complexe getallen vormen commutatieve ringen, maar zijn in feite ook velden.
  • Meer in het algemeen geldt dat elk veld een commutatieve ring is, de klasse van velden is dus een deelverzameling van de verzameling van commutatieve ringen.
  • Een voorbeeld van een niet-commutatieve ring is de verzameling van alle 2-door-2 matrices, waarvan de ingevoerde waarden gehele getallen zijn.
\begin{bmatrix}
1 & 1\\
0 & 1\\
\end{bmatrix}\cdot
\begin{bmatrix}
1 & 1\\
1 & 0\\
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
2 & 1\\
1 & 0\\
\end{bmatrix}
is niet gelijk aan de vermenigvuldiging die in tegengestelde volgorde wordt uitgevoerd:
\begin{bmatrix}
1 & 1\\
1 & 0\\
\end{bmatrix}\cdot
\begin{bmatrix}
1 & 1\\
0 & 1\\
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
1 & 2\\
1 & 1\\
\end{bmatrix}.
Waarvoor de matrixvermenigvuldiging nodig is.
Deze matrices zijn ook geen integriteitsdomein:
\begin{bmatrix}
 1 &  2\\
-3 & -6\\
\end{bmatrix}\cdot
\begin{bmatrix}
\ 6 & -8 \\
-3 & \ 4\\
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
0 & 0\\
0 & 0\\
\end{bmatrix}.