Conchoïde

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Een conchoïde is een meetkundige figuur.

Definitie[bewerken]

Constructieprincipe van een conchoïde: vanuit een vast richtpunt worden naar elk punt van de richtcurve een rechte getekend. Op die rechte kiest men telkens de twee punten op een vaste afstand van het punt op de richtcurve.

Een conchoïde wordt voortgebracht door een richtcurve P(t), een richtpunt Q dat niet op de richtcurve ligt en een afstand K. Het variabel punt P(t) van de richtcurve wordt verbonden met het richtpunt Q. Op deze rechte [Q,P(t)] worden vervolgens twee punten D1(t) en D2(t) afgepast, namelijk de twee punten die op een afstand K van P(t) liggen. De meetkundige plaats van de punten D1(t) en D2(t) vormen de conchoïde.

Algemene beschrijving[bewerken]

De eenvoudigste manier om een conchoïde te beschrijven is de oorsprong als richtpunt te kiezen, en de richtcurve vervolgens in poolcoördinaten te definiëren. De keuze van de oorsprong als richtpunt doet geen afbreuk aan de algemeenheid. Stel vervolgens dat de richtcurve wordt gegeven door:

r(\theta) \!

De conchoïde bestaat dan uit de punten:

D1(\theta) \, = \, r(\theta) \, + \, K
D2(\theta) \, = \, r(\theta) \, - \, K

Deze twee uitdrukkingen kunnen gecombineerd worden tot:

D(\theta) \, = \, r(\theta) \, \pm \, K

Door over te gaan op cartesische coördinaten bekomt men als parametervergelijkingen:

x(\theta) \, = \, ( \, r(\theta) \, \pm \, K \, ) \, cos(\theta)
y(\theta) \, = \, ( \, r(\theta) \, \pm \, K \, ) \, sin(\theta)

Een conchoïde bestaat dus steeds uit twee stukken ten gevolge van het plus/min teken in de vergelijkingen. Een typisch kenmerk bij sommige conchoïden zijn de lussen in het richtpunt, dus in de oorsprong. Deze treden op wanneer de voerstraal van de richtcurve voor bepaalde intervallen van de variabele \theta kleiner is dan de constante K. Dit kan voorkomen in de uitdrukking voor D2 in bovenstaande formules. Indien K echter te groot wordt zullen deze lussen weer verdwijnen omdat het deel D2 dan volledig negatief wordt.

De conchoïde van Nicomedes[bewerken]

Drie voorbeelden van de conchoïde van Nicomedes.

Deze eenvoudige conchoïde heeft de oorsprong (0,0) als richtpunt Q en een rechte als richtcurve. Indien de horizontale rechte y = a wordt gekozen is de vergelijking van deze rechte in poolcoördinaten:

r(\theta) \, = a \, csc(\theta)

zodat:

x(\theta) \, = \, ( \, a \, csc(\theta) \, \pm \, K \, ) \, cos(\theta)
y(\theta) \, = \, ( \, a \, csc(\theta) \, \pm \, K \, ) \, sin(\theta)

Nevenstaande figuur bevat drie conchoïden van Nicomedes. Allen hebben ze de rechte y = 1 als richtcurve, maar de waarde K neemt drie waarden aan: K = 2 (zwart), K = 1 (blauw) en K = 0.5 (groen). In het algemeen geldt voor een conchoïde van Nicomedes: indien K > a bevat een van de twee delen van de conchoïde een lus in de oorsprong. Voor K = a raakt dat deel de oorsprong, en voor K < a ontstaat er geen lus. Voor elke waarde van K gaan beide delen van elke conchoïde asymptotisch naar de richtcurve.

Algemener voorbeeld[bewerken]

Een algemener voorbeeld van een conchoïde. De rode curve is de richtcurve, de blauwe en de zwarte curve de twee delen van deze conchoïde. Bemerk de twee lussen in de oorsprong.

Indien de richtcurve geen rechte is ontstaan tal van andere vormen als conchoïden. De conchoïde met richtpunt de oorsprong, richtcurve:

r(\theta) \, = \, 2.5 \, + \, cos(3\theta) \, + \, sin(2\theta)

en met afstandsmaat K = 1.8 staat getekend op nevenstaande figuur.

De waarde van K is hier zodanig gekozen dat twee lussen voorkomen in de oorsprong. Deze ontstaan in de intervallen \theta = [2.5394...,3.2610...] en \theta = [4.8558...,5.8005]. Lussen treden bij deze conchoïde op voor waarden van K tussen 0.594039... en 4.405961... Voor K < 0.594039... is de voerstraal van de richtcurve overal groter dan K, zodat ook D2 overal positief is. Voor K > 4.405961... is deze voerstraal overal kleiner dan K zodat D2 overal negatief is en dus de oorsprong niet meer raakt of snijdt.