Conjugatie (groepentheorie)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de relatie geconjugeerde een equivalentierelatie op een groep, die de groep ontbindt in conjugatieklassen. De elementen van een conjugatieklasse hebben zo veel overeenkomsten, dat een nadere bestudering van deze conjugatieklassen belangrijke inzichten in de structuur van de niet-abelse groepen oplevert. Bij abelse groepen zijn conjugatieklassen van ondergeschikt belang, omdat elk element een eigen conjugatieklasse vormt.

Definitie[bewerken]

In de groep G heet het element b geconjugeerd met het element a als er een element g is zodanig dat

b = gag–1.

Equivalentierelatie[bewerken]

De relatie geconjugeerd is een equivalentierelatie, immers:

  • (Reflexiviteit) Elke a is geconjugeerd met zichzelf
  • (Symmetrie) Als b geconjugeerd is met a (b = gag–1), is ook a geconjugeerd met b (a = g–1bg).
  • (Transitiviteit) Als a geconjugeerd met b (a = gbg–1) en b is geconjugeerd is met c (b = hch–1), is ook a geconjugeerd met c (a = ghch–1g–1=(gh)c(gh)–1).

Voorbeeld[bewerken]

De symmetrische groep S4, die bestaat uit 24 permutaties van 4 elementen, heeft 5 conjugatieklassen. We schrijven de conjugatieklassen in cykelnotatie:

  • de identieke (1 elementen) :  ( )\,
  • twee verwisselen, transpositie (6 elementen):  (1 2), \;(1 3),\; (1 4),\; (2 3),\; (2 4),\; (3 4)
  • drie verwisselen (8 elementen):  (1 2 3),\; (1 3 2),\; (1 2 4),\; (1 4 2),\; (1 3 4),\; (1 4 3),\; (2 3 4),\; (2 4 3)
  • vier verwisselen (6 elementen):  (1 2 3 4),\; (1 2 4 3),\; (1 3 2 4),\; (1 3 4 2),\; (1 4 2 3),\; (1 4 3 2)
  • twee keer twee verwisselen (3 elementen):  (1 2)(3 4),\;(1 3)(2 4),\; (1 4)(2 3)

Het aantal conjugatieklassen in de symmetrische groep Sn is gelijk aan de partitiefunctie van n.

Om het aantal elementen van iedere conjugatieklas te berekenen, bereken je \frac{n!}{z} .

Als x_n het aantal cykels is met lengte y_m dan is z = x_1!*y_1^{x_1}* ... *x_n!*y_m^{x_n}.

Bijvoorbeeld bij de symmetrische groep S4 de conjugatiegroep waarbij er drie elementen verwisseld worden (en één dus niet) heeft \frac{4!}{1!*1^1*1!*3^1} = 8 elementen.

Zie ook[bewerken]