Conservatief vectorveld

Een conservatief vectorveld $\vec{F}$ (ook wel exact vectorveld) is een vectorveld dat continu is op een bepaald gebied $\Omega$ waarvoor er een differentieerbaar scalair veld $\phi$ bestaat waarvoor $\vec{\nabla} \phi = \vec{F}$ Dit scalair veld noemt men de scalaire potentiaal van $\vec{F}$

Stellingen

• Als een vectorveld conservatief is, dan is dit veld rotatievrij maw. $\vec{\nabla}\times\vec{F}=\vec{0}$
• Als er een gebied is waar een vectorveld rotatievrij en continu differentieerbaar is, dan is dat vectorveld conservatief in dat gebied.
• De lijnintegraal van een conservatief vectorveld is onafhankelijk van de gevolgde weg en er geldt: $\int_{\mathcal{C}}\vec{F}\cdot\vec{dP}=\phi(P(b))-\phi(P(a))$

Hierbij loopt de kromme $\mathcal{C}$ van een zeker punt $P(a)$ naar $P(b)$.

• Uit voorgaande stelling volgt dat een kringintegraal in een enkelvoudig samenhangend gebied van een conservatief vectorveld die in het beschouwde gebied conservatief is, 0 is.