Constante van Champernowne

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Eerste 162 en een gedeeltelijke 163ste term in de kettingbreuk van de decimale constante van Champernowne

De constante van Champernowne C10 is een transcendente reële wiskundige constante waarvan de decimale expansie belangrijke eigenschappen heeft. Hij heet naar zijn ontdekker, de wiskundige en econoom David Gawen Champernowne.

Met grondtal 10 (decimaal geschreven) ontstaat de constante door alle opeenvolgende natuurlijke getallen achter elkaar op te schrijven:

C10 = 0,12345678910111213141516...

Een constante van Champernowne kan men ook in andere getalstelsels definiëren, bijvoorbeeld:

C2 = 0,1 10 11 100 101 110 111... (voor grondtal 2)
C3 = 0,1 2 10 11 12 20 21 22... (voor grondtal 3)

Normaal[bewerken]

Een reëel getal x heet normaal als zijn cijfers in elk getalstelsel een uniforme verdeling kennen: alle cijfers komen even vaak voor en ook tweetallen, drietallen enzovoorts van cijfers hebben een gelijke kans.

Als we een reeks cijfers aangeven met [a0,a1,...], dan verwachten we in een normaal getal met grondtal 10 dat de reeksen [0], [1], [2],..., [9] ieder een gelijke kans van 1/10 hebben om voor te komen en de tweetallen [0,0], [0,1],..., [9,8], [9,9] een gelijke kans van 1/100 hebben enzovoorts.

Champernowne bewees in 1933 dat C_{10} normaal is.[1]

Kettingbreuk[bewerken]

De constante van Champernowne kan als een kettingbreuk geschreven worden. Kurt Mahler liet in 1937 zien dat de constante transcendent is.[2] De kettingbreuk is oneindig omdat C10 niet rationaal is, en is aperiodiek (niet irreducibel kwadratisch).

De termen van de reeks variëren wild, met enorme termen afgewisseld door vele kleintjes. Voor grondtal 10 vindt men bijvoorbeeld

C10 = [0; 8, 9, 1, 149083, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 3, 4, 1, 1, 1, 15,
4 57540 11139 10310 76483 64662 82429 56118 59960 39397 10457 55500 06620 04393 09026 26592 56314 93795 32077 47128 65631 38641 20937 55035 52094 60718 30899 84575 80146 98631 48833 59214 17830 10987,
6, 1, 1, 21, 1, 9, 1, 1, 2, 3, 1, 7, 2, 1, 83, 1, 156, 4, 58, 8, 54, ...].

Het grote getal op plaats 19 bestaat uit 166 cijfers. De eerstvolgende term na 54 heeft 2504 cijfers. Dit is lastig bij de berekening, maar als we de reeksontwikkeling afbreken na zo'n groot getal, hebben we al een goede benadering. Als we het getal op plaats 19 K noemen dan krijgen we bijvoorbeeld

C10 – [0; 8, 9, 1, 149083, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 3, 4, 1, 1, 1, 15] ~ –9 ×10–190
C10 – [0; 8, 9, 1, 149083, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 3, 4, 1, 1, 1, 15, K] ~ 3 ×10–356.

Dit is een verbetering van de nauwkeurigheid van 166 ordes van grootte.

Berekening[bewerken]

De constante van Champernowne voor een bepaald grondtal b kan uitgedrukt worden als een oneindige reeks [3]:

 C_b = \sum_{n=1}^\infty\frac{\sum_{k=b^{n-1}}^{b^n-1}kb^{-n(k-(b^{n-1}-1))}}{b^{\sum_{k=0}^{n-1}k(b-1)b^{k-1}}}.

Deze reeks kan gebruikt worden om de constante te onderzoeken.

De eenvoudige methode waarbij de cijfers een voor een worden toegevoegd werkt op een computer mogelijk langzamer dan andere, geavanceerde algoritmen.[4]

Zie ook[bewerken]

Externe links[bewerken]

  • Weisstein, Eric W. Champernowne Constant op MathWorld, een Wolfram Web Resource op [1]
  • rij A033307 in OEIS.
Bronnen, noten en/of referenties
  1. D. G. Champernowne, The construction of decimals normal in the scale of ten, Journal of the London Mathematical Society, vol. 8 (1933), p. 254-260
  2. K. Mahler, Arithmetische Eigenschaften einer Klasse von Dezimalbrüchen, Proc. Konin. Neder. Akad. Wet. Ser. A. 40 (1937), p. 421-428.
  3. Parkin, S. T. "An Identity for Champernowne's Constant" op MathWorld "Champernowne's constant", zie verwijzingen.
  4. Rytin, M. Champernowne Constant and Its Continued Fraction Expansion, 1999, http://library.wolfram.com/infocenter/MathSource/2876/