Constructivisme (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Het constructivisme is een stroming in de filosofie van de wiskunde die stelt dat het enige geldige bewijs van het bestaan van een wiskundig object een constructie van dat object is. In het bijzonder wordt de bewijsmethode van de reductio ad absurdum uitgesloten. Men spreekt meestal van `constructieve wiskunde' in plaats van `constructivisme'. Grondlegger van de constructieve wiskunde was L.E.J. Brouwer. Zijn intuïtionisme werd door Erret Bishop opgepakt en zo aangepast dat de resultaten van Bishops constructieve wiskunde ook geldig zijn in de klassieke wiskunde. (Het intuïtionisme wordt nu gezien als een stroming binnen de constructieve wiskunde. Een andere belangrijke stroming is de recursieve wiskunde, ook wel RUSS genoemd.)

Sinds Bishop in 1967 zijn Foundations of Constructive Analysis publiceerde, mag de constructieve wiskunde zich verheugen in een groeiende populariteit. Dit komt onder andere door de opkomst van de computers, waardoor de interesse in daadwerkelijke berekenbaarheid van wiskundige entiteiten aanzienlijk is verscherpt.

Constructieve logica[bewerken]

Formeel gezien kan de constructieve wiskunde bereikt worden door uit de logica het axioma van de uitgesloten derde te verwijderen (p \vee \neg p). Dit levert de constructieve of intuïtionistische logica. Deze logica speelt in de informatica een zeer belangrijke rol, onder andere bij correctheidsbewijzen van algoritmen.

Houding van wiskundigen[bewerken]

De meeste wiskundigen zijn van mening dat constructieve wiskunde onnodig streng is. Wel is het zo, dat een constructief bewijs (dat wil zeggen, een bewijs door constructie van een object) hoger wordt aangeslagen dan een niet-constructief bewijs (dat reductio ad absurdum gebruikt) van dezelfde stelling.

Voorbeeld uit de reële analyse[bewerken]

In de klassieke reële analyse is een manier om een reëel getal te definiëren als een equivalentieklasse van Cauchy-rijen van rationale getallen.

In de constructieve wiskunde is een manier om een reëel getal te construeren als een functie f die een positief geheel getal n als input heeft en een rationaal f(n) als output geeft, samen met een functie g die een positief geheel getal n als input heeft en een positief geheel getal g(n ) als output geeft, zodanig dat

\forall n\  \forall i,j \ge g(n)\quad  |f(i) - f(j)| \le {1 \over n}

zodat wanneer n toeneemt, de waarden van f(n) dichter en dichter bij elkaar komen te liggen. We kunnen f en g samen gebruiken om een zo dicht mogelijke rationele benadering van het reëel getal te bereiken als wij willen.

Onder deze definitie is

f(n) = \sum_{i=0}^n {1 \over i!}, \quad g(n) = n.

een eenvoudige representatie van het reële getal e :

Deze definitie komt overeen met de klassieke definitie waarbij gebruik wordt gemaakt van Cauchy-rijen, behalve met een constructieve twist: voor een klassieke Cauchy-rij is het vereist dat er voor elke gegeven afstand (in klassieke zin) een element in de rij bestaat na welke alle elementen dichter bij elkaar zijn dan de gegeven afstand. In de constructieve versie is het vereist dat het voor elke gegeven afstand mogelijk is om werkelijk een punt in de rij te specificeren, waar dit gebeurt (deze vereiste specificatie wordt vaak de convergentiemodulus genoemd). In feite is de standaard constructieve interpretatie van de wiskundige bewering

\forall n : \exists m : \forall i,j \ge m: |f(i) - f(j)| \le {1 \over n}

precies het bestaan van de functie die de convergentiemodulus berekent. Het onderscheid tussen de twee verschillende definities van de reële getallen kan dus worden gezien als het verschil in de interpretatie van de bewering "for all... there exists..." ("voor alle ... bestaat er ... ")

Dit doet de vraag rijzen wat voor soort functie van een aftelbare verzameling naar een aftelbare verzameling, zoals f en g hierboven, daadwerkelijk kan worden geconstrueerd. Op dat punt geven de verschillende versies van het constructivisme uiteenlopende antwoorden. Constructies kunnen zo breed als vrije keuze sequenties worden gedefinieerd (het intuïtionistische standpunt), of zo smal als algoritmen (of meer technisch, berekenbare functies), of kunnen zij zelfs niet meer worden gespecificeerd. Als bijvoorbeeld het algoritmische standpunt wordt ingenomen, dan zijn de reële getallen, zoals hier geconstrueerd, in essentie wat men in de klassieke wiskunde berekenbare getallen noemt.

Zie ook[bewerken]