Continuïteitsvergelijking

Een continuïteitsvergelijking is een soort vergelijking in de natuurkunde, die het behoud van een bepaalde grootheid uitdrukt. Het is dus een speciaal soort van een behoudsvergelijking. Typische behouden grootheden die voldoen aan een continuïteitsvergelijking, zijn massa en lading.

Vorm van de vergelijking

Elke vergelijking van de vorm

$\partial_t \rho = \nabla \cdot \vec{j}$

noemt men een continuïteitsvergelijking. Uitleg:

• De continuïteitsvergelijking drukt het behoud uit van een grootheid welke op een continue wijze verdeeld is doorheen de ruimte. De grootheid $\rho$ hangt dus af van de ruimtelijke coördinaten $x^i$ en de tijd $t$, dus: $\rho = \rho(\vec{x}, t)$. Deze grootheid heeft typisch de betekenis van een dichtheid.
• Verder is er ook een vector-grootheid $\vec{j} = \vec{j}(x^i, t)$, met de betekenis van een stroom.
• Verder is $\partial_t = \frac{\partial}{\partial t}$ de afgeleide naar de tijd en $\nabla \cdot$ is de divergentie.

Het is niet moeilijk om aan te tonen dat (onder natuurlijke voorwaarden) de bovenstaande vergelijking impliceert dat de grootheid

$Q(t)=\int_{\mathbb{R}^3} \rho(\vec{x},t) d^3 x$

niet afhangt van de tijd, dus $Q(t)$ is eigenlijk een constante $Q$. Anders uitgedrukt:

$\partial_t Q(t) =0$.

De continuïteitsvergelijking is dus inderdaad een behoudsvergelijking.

Voorbeelden

Behoud van massa

In bijna alle fysische systemen is de totale massa behouden. Dit wordt uitgedrukt als volgt:

${ \partial\mathbf{\rho} \over \partial t } + \nabla \cdot (\rho \vec{v}) = 0$

Hierbij is $\rho$ de massadichtheid en $\vec{v}$ de lokale snelheid van het medium. Bovenstaande vergelijking impliceert dat de totale massa

$M = \int \rho d^3 x$

behouden is (niet verandert in de loop van de tijd).

Behoud van lading

Een andere grootheid die typische behouden is, is lading. Daarvoor geldt identiek dezelfde vergelijking:

${ \partial\mathbf{\rho} \over \partial t } + \nabla \cdot (\rho \vec{v}) = 0$

alleen heeft $\rho$ nu de betekenis van ladingsdichtheid. De bovenstaande vergelijking drukt dan ook uit dat de totale elektrische lading behouden is:

$Q = \int \, \rho d^3 x$

hangt immers niet af van de tijd.

In relativiteitstheorie

In relativiteitstheorie vormen de objecten $\rho$ en $\vec{j}$ typisch één enkel object, een viervector. Deze wordt typisch genoteerd als $j^\mu$, waarbij de index $\mu$ loopt van 0 tot 3 . (De nulde component is $\rho$.) Ook de afgeleiden $\partial_t$ en $\partial_i$ vormen in relativiteitstheorie één object, $\partial_\mu$. De continuïteitsvergelijking neemt dan de volgende bijzonder eenvoudige en elegante vorm aan:

$\partial_\mu j^\mu=0$.

(In deze vergelijking is de Einstein-sommatieconventie verondersteld).

Zie ook

• Navier-Stokes-vergelijkingen
• Ladingsdichtheid
• Wet van Fick
• Viervector