Continuümhypothese

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de verzamelingenleer, een deelgebied van de wiskunde, is de continuümhypothese een door Georg Cantor in 1877 geponeerde hypothese over de mogelijke grootte van oneindige verzamelingen. De hypothese luidt dat:

Er bestaat geen verzameling, waarvan de kardinaliteit tussen de kardinaliteit van de gehele getallen en de kardinaliteit van de reële getallen ligt.

De continuümhypothese stelt dat de kardinaliteit van de verzameling reële getallen (het continuüm) het eerste overaftelbare kardinaalgetal is, oftewel het eerste kardinaalgetal groter dan de kardinaliteit van de natuurlijke getallen.

Kardinaliteit van oneindige verzamelingen[bewerken]

Van twee verzamelingen wordt gezegd dat zij dezelfde kardinaliteit of hetzelfde kardinaalgetal hebben als er een bijectie (een een-op-een-correspondentie) tussen deze twee verzamelingen bestaat. Intuïtief gesproken hebben twee verzamelingen S en T dezelfde kardinaliteit als het mogelijk is om elementen van S op zodanige wijze tegen elementen van T weg te strepen dat elk element van S gekoppeld is aan precies een element van T en dat andersom elk element van T gekoppeld is aan precies een element van S. Vandaar dat bijvoorbeeld de verzameling {banaan, appel, peer} dezelfde kardinaliteit, drie, heeft als de verzameling {geel, rood, groen}.

Met oneindige verzamelingen, zoals de verzameling van gehele getallen of de rationale getallen, wordt het een stuk ingewikkelder om aan te tonen dat elementen tegen elkaar kunnen worden weggestreept. De rationale getallen vormen schijnbaar een tegenvoorbeeld van de continuümhypothese: de rationale getallen vormen aan de ene kant een superset van de gehele getallen en aan de andere kant een deelverzameling van de reële getallen. Intuïtief zou men dus mogen verwachten dat er meer rationale getallen dan gehele getallen en minder rationale getallen dan reële getallen bestaan. Het blijkt echter dat de rationale getallen in een-op-een correspondentie met de gehele getallen kunnen worden geplaatst, en dat dus de verzameling van rationale getallen dezelfde grootte heeft als de verzameling van de gehele getallen; het zijn beide aftelbare verzamelingen.

Cantor gaf twee bewijzen dat de kardinaliteit van de verzameling van gehele getallen strikt genomen kleiner is dan de verzameling van reële getallen; Zijn tweede bewijs is het diagonaalbewijs van Cantor. Zijn bewijzen geven echter geen indicatie van de mate, waarin de kardinaliteit van de natuurlijke getallen kleiner is dan de kardinaliteit van de reële getallen. Cantor stelde de continuümhypothese als een mogelijk antwoord op deze vraag voor.

Het aantal natuurlijke getallen is per definitie aftelbaar oneindig, en wordt aangeduid met \aleph_0 (uitspraak: alef nul; alef is de eerste letter van het Hebreeuwse alfabet). Met zijn diagonaalbewijs toonde Cantor aan dat het aantal reële getallen, aangeduid als C, groter is dan \aleph_0. Uit het diagonaalbewijs volgt echter niet dat C gelijk is aan \aleph_1, het eerste kardinaalgetal groter dan \aleph_0. Er kunnen willekeurig veel kardinaalgetallen tussen \aleph_0 en C liggen.

De hypothese stelt dat de verzameling van de reële getallen een minimaal mogelijke kardinaliteit heeft die groter is dan de kardinaliteit van de verzameling gehele getallen. Op gelijkwaardige wijze, als de kardinaliteit van de gehele getallen gelijk is aan \aleph_0 ("alef-nul") en de kardinaliteit van de reële getallen gelijk is aan

2^{\aleph_0},

zegt de continuümhypothese dat er geen verzameling S bestaat, waarvoor geldt dat

 \aleph_0 < |S| < 2^{\aleph_0}.

Uitgaande van het keuzeaxioma bestaat er een kleinste kardinaalgetal \aleph_1 groter dan \aleph_0. De continuümhypothese is op haar beurt gelijkwaardig met de gelijkheid

2^{\aleph_0} = \aleph_1.

Er bestaat ook een veralgemening van de continuümhypothese, die de gegeneraliseerde continuüm hypothese (GCH) wordt genoemd. Deze hypothese zegt dat voor alle ordinaalgetallen \alpha \,

2^{\aleph_\alpha} = \aleph_{\alpha+1}.

Een gevolg van de hypothese is dat elke oneindige deelverzameling van de reële getallen ofwel dezelfde kardinaliteit als de gehele getallen ofwel dezelfde kardinaliteit als de gehele verzameling van reële getallen heeft.

Onbeslisbaarheid binnen de Zermelo-Fraenkel-verzamelingenleer[bewerken]

Het vaststellen van de waarheid of onwaarheid van de continuümhypothese is het eerste van de 23 problemen van Hilbert uit het jaar 1900. De bijdragen van Kurt Gödel in 1940 en van Paul Cohen in 1963 hebben laten zien dat, wanneer men gebruik maakt van de axioma's van de Zermelo-Fraenkel-verzamelingenleer, de meest gangbare verzamelingenleer binnen de moderne wiskunde, de continuümhypothese noch kan worden weerlegd, noch kan worden bewezen, dit op voorwaarde dat de verzamelingenleer consistent is.

Met de continuümhypothese geldt dat het aantal reële getallen in het continuüm, C gelijk is aan \aleph_1. Zonder de continuümhypothese kunnen er oneindig veel \aleph's liggen tussen \aleph_0 en C. Beide mogelijkheden zijn even aannemelijk: de ene is niet meer of minder waar dan de andere.

Argumenten voor en tegen de continuümhypothese[bewerken]

Gödel geloofde dat de continuümhypothese (CH) onwaar is en dat zijn bewijs dat CH consistent is alleen aantoont dat de axioma's van Zermelo-Fraenkel het universum van verzamelingen niet adequaat beschrijven. Gödel was een platonist en had dus geen problemen met het uiten van zijn mening over waarheid en onwaarheid van stellingen onafhankelijk van hun bewijsbaarheid. Cohen, die meer een formalist was, tendeerde ook naar afwijzing van de CH.

Historisch gezien waren wiskundigen die een "rijk" en "groot" universum van verzamelingen voorstonden tegen de CH, terwijl degenen die voor een "net" en "controleerbaar" universum waren, de continuümhypothese juist goed gezind waren. Parallelle argumenten werden voor en tegen het axioma van construeerbaarheid, dat de CH impliceert, geuit. Meer recent heeft Matteüs Foreman erop gewezen dat het ontologisch maximalisme daadwerkelijk in het voordeel van CH pleit, want onder modellen, die dezelfde reële getallen hebben, hebben modellen met "meer" verzamelingen van reële getallen een betere kans om te voldoen aan de continuümhypothese (Maddy 1988, blz. 500).

Een ander gezichtspunt is dat het conceptuele begrip van een verzameling niet specifiek genoeg is om te bepalen of CH waar of onwaar is. Dit standpunt werd reeds in 1923 ingenomen door Thoralf Skolem, zelfs nog vóór de eerste onvolledigheidsstelling van Gödel. Skolem beriep zich op wat nu bekendstaat als de paradox van Skolem. Zijn standpunt werd later ondersteund door de onafhankelijkheid van CH van de axioma's van ZFC, aangezien de ZFC-axioma's op zich voldoende zijn om de elementaire eigenschappen van verzamelingen en kardinaliteiten vast te stellen. Om tegen dit gezichtspunt te poneren, zou het voldoende zijn om intuïtief vast te stellen of nieuwe axioma's waar of onwaar zijn en ook CH intuïtief op te lossen als zijnde waar of onwaar. Hoewel het axioma van construeerbaarheid CH oplost, wordt het axioma van construeerbaarheid niet algemeen beschouwd als zijnde intuïtief meer waar dan dat de continuümhypothese algemeen wordt beschouwd als zijnde onwaar (Kunen 1980, blz. 171).

Er zijn ten minste twee andere axioma's voorgesteld die implicaties hebben voor de continuümhypothese, hoewel deze axioma's momenteel geen brede acceptatie vinden binnen de wiskundige gemeenschap. In 1986 presenteerde Chris Freiling een argument tegen CH door aan te tonen dat de ontkenning van CH gelijkwaardig is aan het symmetrieaxioma van Freiling, een stelling over waarschijnlijkheden. Freiling is van mening dat zijn axioma "intuïtief waar" is, maar anderen zijn het niet met hem eens. Een moeilijk argument tegen CH, dat door W. Hugh Woodin werd opgeworpen, heeft sinds het jaar 2000 (Woodin 2001a, 2001b) redelijk wat aandacht gekregen. Foreman (2003) verwerpt Woodins argumenten niet, maar dringt wel aan op voorzichtigheid.

De veralgemeende continuümhypothese[bewerken]

De gegeneraliseerde continuümhypothese (GCH), in 1908 opgesteld door Felix Hausdorff, is een uitbreiding van de continuümhypothese. De GCH stelt dat voor alle ordinalen, \alpha\,, geldt dat

2^{\aleph_\alpha} = \aleph_{\alpha+1}

Externe bronnen[bewerken]