Continue functie (topologie)

In de topologie en aanverwante gebieden binnen de wiskunde is een continue functie een morfisme tussen topologische ruimten. Intuïtief is het een functie f waar een verzameling van punten dichtbij f(x) altijd de afbeelding van een verzameling van punten dichtbij x bevatten. Voor een algemene topologische ruimte betekent dit dat een omgeving van f(x) altijd de afbeelding van een omgeving van x bevat.

In een metrische ruimte, bijvoorbeeld de reële getallen, betekent dit dat de punten binnen een gegeven afstand van f(x) altijd de beelden van alle punten binnen een andere afstand van x bevatten, gegeven de ε-δ definitie.

Definities

Er bestaan verschillende equivalente definities van een topologische ruimte en dus zijn er ook verschillende equivalente manieren om een continue functie te definiëren.

Definities van open en gesloten verzamelingen

De meest gangbare notie van continuïteit in de topologie definieert een continue functies als die functies waarvan de preimages van open verzamelingen open zijn. Vergelijkbaar met de formulering voor de open verzameling is die voor de gesloten verzameling, die stelt dat de preimages van gesloten verzamelingen gesloten zijn.

Definitie van omgevingen

Definities gebaseerd op preimages zijn vaak moeilijk direct te gebruiken. Neem in plaats daarvan aan dat we een functie f van X naar Y hebben, waar X en Y topologische ruimten zijn. Wij zeggen dat f continu op x is voor enige $x \in X$ als voor enige omgeving V van f(x) er een omgeving U van x bestaat zodanig dat $f(U) \subseteq V$ bestaat. Hoewel deze definitie complex lijkt, wordt hier intuïtief beweerd is dat hoe "klein" V ook mag worden, wij altijd een U, met daarin x, kunnen vinden die daarbinnen kan worden afgebeeld. Als f continu is op elke $x \in X$, dan zeggen we simpelweg dat f continu is.

In een metrische ruimte is dit equivalent aan een omgevingssysteem van open ballen, dat gecentreerd is op x en f(x) in plaats van alle omgevingen. Dit leidt tot de standaard ε-δ-definitie van een continue functie uit de reële analyse, die ruwweg zegt dat een functie continu is, indien alle punten dichtbij x op punten dichtbij f(x) mappen. Deze omschrijving heeft alleen betekenis in een metrische ruimte, waar een notie van afstand is gedefinieerd.

Merk echter op dat als de doelruimte een Hausdorff-ruimte is, het nog steeds zo is dat f continu in a is dan en slechts dan als de limiet van f, wanneer x tot a nadert, gelijk is f(a). Op een geïsoleerd punt is iedere functie continu.