Convolutie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Figuur 1. Convolutie van twee blokvormige signalen: het resultaat is een driehoekig signaal
Figuur 2. Convolutie van een blokvormig signaal (het input signaal) met een impulsvormig signaal. De convolutie is de oppervlakte van de gele figuur.

Convolutie (samenvouwing) is een wiskundige bewerking, aangeduid door * \, of \otimes, op twee functies met als resultaat een nieuwe functie: de convolutie van beide. Synoniem voor convolutie is Duhamel-integraal of -som, Faltung-integraal of -som (Duits: vouwen). Een interpretatie van de convolutie is de transformatie van een van beide functies door de andere. Daarbij is het resultaat de oppervlakte van de overlap van beide functies, waarbij de tweede functie verschuift.

Voor het eerste voorbeeld hiernaast kan men dat als volgt bekijken:

  • De functies f en g zijn blokfuncties met een waarde 1 op het interval [-0{,}5;0{,}5], en de waarde 0 elders.
  • Aangezien deze functies symmetrisch zijn rond 0 (met andere woorden: voor elke x geldt dat f(x)=f(-x) en g(x)=g(-x)), is de gespiegelde versie van de functie, gelijk aan de functie zelf.
  • De functie g wordt dan verschoven met een factor t, waarbij t varieert van -\infty tot +\infty
  • Op het moment dat t gelijk is aan –1, is er nog geen enkele overlap voor beide functies. Immers, de verschuiving van g met een factor t=-1 resulteert in een blokfunctie g die een waarde 1 heeft voor alle waarden \tau die voldoen aan -1{,}5 < \tau < -0{,}5.
  • Zodra t echter groter wordt, is er een overlap van beide functies. Deze begint zeer klein, maar wordt maximaal als beide functies elkaar volledig overlappen. Dit is het geval bij t=0. Daar is dus ook de gemeenschappelijke oppervlakte het grootst.
  • Daarna verkleint de overlap, en gaat dus ook de functie f * g weer naar beneden.

Een gelijkaardige analyse kan men doen bij het tweede voorbeeld.

Voorbeelden[bewerken]

Kansrekening[bewerken]

Op een druk kruispunt gebeuren elke week wel een of meer ongelukken. Het aantal ongelukken in de komende twee weken is de som van het aantal ongelukken van komende week en van de week daarna. Als de komende twee weken 5 ongelukken zullen gebeuren, kan dat de som zijn van 0 volgende week en 5 de week daarna, of 1 komende week en 4 daarna, of 2+3, 3+2, 4+1 of 5+0. Om de kans te bepalen dat de volgende twee weken 5 ongelukken zullen gebeuren, moeten de kansen op de genoemde mogelijkheden bij elkaar worden opgeteld. Die kans is de convolutie van de kansen van de komende week en van de week daarna.

Uitleg van figuur 1[bewerken]

In bovenstaande figuur 1 zien we de convolutie van een blokfunctie met zichzelf. De blokfunctie is gedefinieerd als

 f(x) = 
\begin{cases} 
1 & \mbox{als  } |x| \le \tfrac 12  \\
\\
 0 & \mbox{als  } |x| > \tfrac 12 
\end{cases}

Voor de convolutie f_{conv} geldt:

f_{conv} (t) = (f*f)(t)= \int_{-\infty}^{\infty} f(x)f(t-x)\mathrm{d}x.

Omdat

f(t-x)=0 voor x < t- \tfrac 12 en x > t + \tfrac 12

volgt voor |t| > 1

f_{conv}(t) = 0.

Voor 0<t<1 is

f_{conv} (t) = \int_{t-1/2}^{1/2}1.\hbox{d}x = 1/2 - (t-1/2) = -t+1

en voor -1<t<0

f_{conv} (t) = \int_{-1/2}^{t+1/2}1.\hbox{d}x = t+1/2 - (-1/2) = t+1.

De convolutie f_{conv} is dus een driehoeksfunctie, die getoond wordt in figuur 1.[1]

Definities[bewerken]

Laat u en v twee rijen getallen zijn, geïndexeerd door gehele getallen. De convolutie van u en v, genoteerd (u*v) (k)\, of (u \otimes v) (k), is een nieuwe getallenrij waarvan de algemene term gegeven wordt door

(u*v) (k) = (u \otimes v) (k) = \sum_{i=-\infty}^{\infty} u(i)v(k-i)

op voorwaarde dat de reekssom absoluut convergeert.

Laat u en v twee meetbare functies zijn op de reële getallen. De convolutie van u en v is een nieuwe functie u*v, met als voorschrift

 (u*v) (t) = \int_{-\infty}^{\infty} u(s)v(t-s)\hbox{d}s

op voorwaarde dat de integraal bestaat in de absoluut convergente zin van Lebesgue.

Deze bewerking kan als een voortschrijdend gewogen gemiddelde van u gezien worden, met v (of eigenlijk: de spiegeling van v) als rij gewichten.

Eigenschappen[bewerken]

Commutativiteit[bewerken]

f * g = g * f \,

Associativiteit[bewerken]

f  * (g  * h) = (f  * g)  * h \,

Distributiviteit[bewerken]

f  * (g + h) = (f  * g) + (f  * h) \,

Associativiteit met het scalair vermenigvuldigen[bewerken]

a (f  * g) = (a f)  * g = f  * (a g) ,

met a een willekeurig complex (reëel) getal.

Afgeleide[bewerken]

\mathcal{D}(f  * g) = \mathcal{D}f  * g = f  * \mathcal{D}g,

met \mathcal{D}f de afgeleide van f (continu geval) en (\mathcal{D}f)(n)=f(n+1)-f(n) (discreet geval)

Convolutie-theorema[bewerken]

 \mathcal{F}(f * g) =  \sqrt{2\pi} \mathcal{F} (f) \cdot \mathcal{F} (g)

, met F(f) de Fourier-getransformeerde van f.

Gelijkaardige eigenschappen gelden ook voor de Laplacetransformatie:

 \mathcal{L}[f * g](s) =  \mathcal{L} [f](s) \cdot \mathcal{L} [g](s)

, en de Z-transformatie:

 \mathcal{Z}[x * y](z) =  \mathcal{Z} [x](z) \cdot \mathcal{Z} [y](z)

Inverse[bewerken]

Soms wordt getracht, door zogeheten deconvolutie, uit de convolutie f \star g van een onbekende functie f en een bekende functie g, de onbekende f terug te vinden. Dit is echter in lang niet alle gevallen mogelijk.

Toepassingen[bewerken]

Systeem regeltechniek.png

Regeltechniek[bewerken]

Convolutie wordt onder meer gebruikt in de systeemtheorie, meer bepaald in de regeltechniek. De functies u en v stellen dan signalen voor. Rijen zijn signalen in discrete tijd, functies met reëel domein zijn signalen in continue tijd.

Een lineair tijdsinvariant systeem S gegeven door de impulsantwoord h, geeft als output x de convolutie van de impulsrespons met het ingangssignaal u:

x=h*u

Deze uitdrukking geldt in de veronderstelling dat alle beginvoorwaarden van het systeem nul zijn (nultoestand).

Kansrekening[bewerken]

De convolutie vindt ook toepassing in de kansrekening. De kansdichtheid van de som van twee onderling onafhankelijke continue stochastische variabelen is de convolutie van de beide afzonderlijke dichtheden. Ook voor discrete stochastische variabelen geldt een overeenkomstige eigenschap.

De som van twee onafhankelijke continue stochastische variabelen is opnieuw continu, en haar dichtheidsfunctie is de convolutie van de twee afzonderlijke dichtheidsfuncties.

1. De stochastische variabelen X en Y zijn onderling onafhankelijk en beide exponentieel verdeeld met parameter λ. De kansdichtheid van de som van beide is voor z > 0:

f_{X+Y}(z) = \int_0^z f_X(x)f_Y(z-x)dx=\int_0^z \lambda e^{-\lambda x}\lambda e^{-\lambda (z-x)}dx = \lambda^2 z e^{-\lambda z}.

De som X+Y heeft dus een Erlang-verdeling met parameters λ en 2.

2. De stochastische variabelen X en Y zijn onderling onafhankelijk en beide Poisson-verdeeld met respectievelijke parameters λ en μ. De kansfunctie van de som van beide is voor n = 0, 1, ...:

P(X+Y=n) = \sum_{k=0}^n P(X=k)P(Y=n-k)=\sum_{k=0}^n \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} \frac{\mu^{n-k}}{(n-k)!}e^{-\mu} = \frac{(\lambda+\mu)^n}{n!}e^{-(\lambda+\mu)}.

De som X+Y heeft dus ook een Poisson-verdeling, maar met parameter λ + μ.

Veralgemeningen[bewerken]

Distributies[bewerken]

Door uitbreiding van het begrip partiële integratie wordt de convolutie gedefinieerd op distributies.

De convolutie van een functie met de dirac-operator verschuift die functie

De convolutie van een signaal f(x) met een verschoven Dirac-impuls \! \delta(i-i_0) is:


(\delta * v)(k) = \sum_{i=-\infty}^{\infty} \delta(i-i_0)v(k-i)=v(k-i_0)
, want \delta(i-i_0) is overal nul, behalve voor i=i_0.
 (\delta * f) (x) = \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t-t_0) \cdot f(x-t) \cdot dt=f(x-t_0), want \delta(t-t_0) is overal nul, behalve voor t=t_0, waar geldt dat \delta(t_0)=f(t)=f(t_0).

dus telkens een verschuiving.

Lie-groepen[bewerken]

De natuurlijke thuishaven van de convolutie is die van een Liegroep G met een linksinvariante maat \mu, de zogenaamde Haar-maat. We noteren de groepsbewerking multiplicatief. Als u en v Haar-integreerbare functies zijn, dan wordt hun convolutie gedefinieerd door het voorschrift

\forall g\in G:(u*v)(g)=\int_G u(h)v(g\cdot h^{-1})\ \hbox{d}\mu(h)

Bovenstaande definities voor de convolutie van rijen of van reële functies zijn hiervan de speciale gevallen voor de optelgroepen der gehele getallen (met de telmaat) respectievelijk de reële getallen (met de Lebesgue-maat).

Bronnen, noten en/of referenties
  1. Vergelijk van der Blij, F. en van Tiel, J: Infinitesimaalrekening, Utrecht/Antwerpen 1969, Het Spectrum, p. 380