Secans en cosecans

In een eenheidscirkel geeft de in het lichtblauw aangeduide lengte de secans aan van hoek θ.

De secans (Latijn voor de snijdende) en cosecans zijn twee gerelateerde goniometrische functies. Ze worden aangeduid met respectievelijk sec en csc (ook wel cosec).

Secans

van een scherpe hoek α in een rechthoekige driehoek is gelijk aan:

$\sec(\alpha)=\frac{\textrm{schuine\ zijde}}{\textrm{aanliggende\ zijde}}$

De secans van een scherpe hoek α in een rechthoekige driehoek is dus het omgekeerde van de cosinus van deze hoek.

$\sec(\alpha) = \frac{1}{\cos(\alpha)}$

Uit de goniometrische cirkel en de stelling van Pythagoras kan de volgende relatie met de tangens afgeleid worden:

$\tan^2(x) + 1 = \sec^2(x) \;$

Machtreeks

De secans kan ontwikkeld worden in de volgende machtreeks voor |x| < π/2:

$\sec(x) = 1 + \tfrac 12 x^2 + \tfrac{5}{24} x^4 + \tfrac{61}{720} x^6 + \cdots= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nE_{2n}}{(2n)!} x^{2n}$

Daarin is E_n een Eulergetal.

Cosecans

Van een scherpe hoek α in een rechthoekige driehoek is de secans van het complement van die hoek.

$\csc(\alpha)=\sec(90^o-\alpha)\!$

Uitgedrukt in de zijden van de driehoek, geldt:

$\csc(\alpha)=\frac{\textrm{schuine\ zijde}}{\textrm{overstaande\ zijde}}$

De cosecans van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is dus het omgekeerde van de sinus van die hoek.

$\csc(\alpha)=\frac{1}{\sin(\alpha)}$

Uit de goniometrische cirkel en de stelling van Pythagoras kan de volgende relatie met de cotangens afgeleid worden:

$\cot^2(x) + 1 = \csc^2(x) \;$

Machtreeks

De cosecans kan ontwikkeld worden in de volgende machtreeks voor 0 < |x| < π/2:

$\csc (x)= \frac 1x + \tfrac 16 x + \tfrac{7}{360}x^3 + \tfrac{31}{15120} x^5 + \cdots= \sum_{n=0}^\infty(-1)^{n+1} B_{2n} \frac{ 2 (2^{2n-1}-1)}{(2n)!} x^{2n-1}$

Daarin is B_n een Bernoulligetal.

Zie ook

• Goniometrische functie

Wiskundige functies
Basisfuncties: Optellen · Aftrekken · Vermenigvuldigen · Delen · Machtsverheffen · Worteltrekken Logaritme: Logaritme · Natuurlijke logaritme · Exponentiële functie Trigonometrie: Sinus en cosinus · Tangens en cotangens · Secans en cosecans Inverse functies: Arcsinus · Arccosinus · Arctangens · Arccotangens · Arcsecans · Arccosecans Overige: Hyperbolische functies