Cosinusregel

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Fig 1: Driehoek

In de goniometrie beschrijft de cosinusregel een relatie tussen de drie zijden van een driehoek en de cosinus van een hoek.

Gebruik makend van de notaties van de figuur, zegt de cosinusregel dat

\,\!a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha
\,\!b^2=c^2+a^2-2ca\cos\beta
\,\!c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma

De regel kan, onder andere, worden toegepast om

  • de derde zijde te berekenen, wanneer twee zijden en de door deze zijden ingesloten hoek bekend zijn (congruentiestelling ZHZ)
  • een hoek te berekenen als de drie zijden bekend zijn (congruentiestelling ZZZ)

Gevolgtrekkingen[bewerken]

Uit de cosinusregel kan men enige belangrijke conclusies trekken, met name met betrekking tot de stelling van Pythagoras en de congruentiestellingen voor driehoeken

Stelling van Pythagoras[bewerken]

Bij een rechte hoek geldt

\alpha = 90^{\circ} = \frac{\pi}{2}

Dus geldt bij een rechthoekige driehoek

\cos\alpha = \cos\frac{\pi}{2} = 0.

In een rechthoekige driehoek doet zich de stelling van Pythagoras als een speciaal geval van de cosinusregel voor.

a^2=b^2+c^2\,

Congruentiestellingen voor een driehoek[bewerken]

De congruentiestellingen ZZZ (zijde-zijde-zijde) en ZHZ (zijde-hoek-zijde) geven aan, dat een driehoek volledig bepaald is, wanneer alle drie de zijden (ZZZ) of twee zijden en de daardoor ingesloten hoek (ZHZ) bekend zijn. De cosinusregel staat het in deze gevallen toe uit de drie gegeven gegeven informatie-elementen een vierde, namelijk een hoek (in het geval van ZZZ) of de lengte van de derde zijde (in het geval van ZHZ) te berekenen. Wanneer men vervolgens ook de andere hoeken van een driehoek wil bepalen, kan men daarvoor opnieuw de cosinusregel of ook de sinusregel toepassen. Daar de som van de hoeken 180 graden is, kent men snel de laatste hoek.

Als er slechts een zijde en twee hoeken (de congruentiestellingen ZHH of HZH) of twee zijden en de tegenoverliggende hoek van de grootste zijde (Congruentiestelling ZzH) bekend zijn, kan men eerst een van de ontbrekende hoeken met de sinusregel berekenen, waarna de derde hoek ook automatisch bekend is (180 gradenregel). Afsluitend kan men de cosinusregel toepassen om de derde zijde te bepalen.

Bewijs[bewerken]

Er bestaan vele bewijzen van de cosinusregel. We bespreken er hier twee

Vectorformulering[bewerken]

Met vectorrekening, waar het inwendig product van twee vectoren uitdrukt in termen van hun respectievelijke lengtes en hun ingesloten hoek, gaat dat als volgt:

De cosinusregel stelt dat

\,\!c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma

Beschouw de zijden als vectoren en noem:

\vec a=\vec{BC},\ \vec b=\vec{AC},\ \vec c=\vec{AB}.

Dan is:

\vec c=\vec b - \vec a,

zodat:

c^2=\|\vec c\|^2=\|\vec b-\vec a\|^2=(\vec b-\vec a)\cdot (\vec b-\vec a)=\|\vec b\|^2+\|\vec a\|^2-2\,\vec a\cdot\vec b=a^2+b^2-2ab\cos \gamma.
De laatste gelijkheid volgt uit de definitie van een hoek tussen twee vectoren.

Vergelijking van oppervlakten[bewerken]

Een ander bewijs gaat door vergelijking van oppervlakten. We moeten onderscheid maken in het geval met scherpe hoek γ en het geval met stompe hoek γ

Geval met scherpe hoek γ
Fig 2: Met scherpe hoek γ

Figuur 2 laat een zevenhoek zien die verdeeld is in:

  • de roze oppervlakten a2, b2 links en 2ab cos γ en c2 rechts
  • de driehoek ABC in het blauw
  • grijze hulpdriehoeken alle congruent met driehoek ABC.

Uit vergelijking van de oppervlakten links en rechts blijkt:

\,\!a^2+b^2=c^2+2ab\cos\gamma,

waaruit de cosinusregel volgt.

Fig 3: Met stompe hoek γ
Geval met stompe hoek γ

Figuur 3 laat weer een zevenhoek zien die verdeeld is in:

  • de roze oppervlakten a2, b2 en −2ab cos γ links en c2 rechts
  • twee keer in het blauw met driehoek ABC congruente driehoeken

Uit vergelijking van de oppervlakten links en rechts volgt direct de cosinusregel:

\,\!a^2+b^2-2ab\cos\gamma=c^2.


Bewijs met behulp van de stelling van Pythagoras.[bewerken]

Het is mogelijk om de cosinusregel te bewijzen door gebruik te maken van de stelling van Pythagoras.

Zoals men in de figuur kan zien verdeelt de loodlijn d op de basis c de driehoek in twee rechthoekige driehoeken. Volgens de stelling van Pythagoras geldt:

afbeelding horend bij bewijs
a^2=d^2+e^2

en

b^2=d^2+(c-e)^2.

Eliminatie van d2 geeft:

b^2=a^2+c^2-2ce.

Verder blijkt uit Soscastoa dat:

\cos(\beta) = e/a, waaruit volgt e=a\cos(\beta)

Beide formules gecombineerd geeft:

b^2=a^2+c^2-2ca\cos(\beta).

Zie ook[bewerken]