Cosinusregel

In de goniometrie beschrijft de cosinusregel een relatie tussen de drie zijden van een driehoek en de cosinus van een van de drie hoeken van deze driehoek. De regel kan worden toegepast om

• de derde zijde te berekenen, wanneer twee zijden en de door deze zijden ingesloten hoek bekend zijn (congruentiestelling ZHZ)
• een hoek te berekenen als alle drie de zijden bekend zijn (congruentiestelling ZZZ)

Voor de drie zijden a, b en c van een driehoek als ook voor de tegenover de zijde c liggende hoek, dat wil zeggen de door de twee zijden, a en b ingesloten hoek, γ geldt:

$\,\!c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$

Gevolgtrekkingen

Uit de cosinusregel kan men enige belangrijke conclusies trekken, met name met betrekking tot de stelling van Pythagoras en de congruentiestellingen voor driehoeken

Stelling van Pythagoras

Bij een rechte hoek geldt

$\gamma = 90^{\circ} = \frac{\pi}{2}$

Dus geldt bij een rechthoekige driehoek

$\cos\gamma = \cos\frac{\pi}{2} = 0$.

In een rechthoekige driehoek doet zich de stelling van Pythagoras als een speciaal geval van de cosinusregel voor.

$c^2=a^2+b^2\,$

Congruentiestellingen voor een driehoek

De congruentiestellingen ZZZ (zijde-zijde-zijde) en ZHZ (zijde-hoek-zijde) geven aan, dat een driehoek volledig bepaald is, wanneer alle drie de zijden (ZZZ) of twee zijden en de daardoor ingesloten hoek (ZHZ) bekend zijn. De cosinusregel staat het in deze gevallen toe uit de drie gegeven gegeven informatie-elementen een vierde, namelijk een hoek (in het geval van ZZZ) of de lengte van de derde zijde (in het geval van ZHZ) te berekenen. Wanneer men vervolgens ook de andere hoeken van een driehoek wil bepalen, kan men daarvoor opnieuw de cosinusregel of ook de sinusregel toepassen. De laatste hoek berekent men dan door gebruik te maken van het feit dat alle drie de hoeken samen hier optellen tot 180 graden.

De formules voor de algemene driehoek luiden als volgt:

$\begin{array}{ccc} a^2=b^2+c^2-2\,b\,c\,\cos\alpha\\ b^2=a^2+c^2-2\,a\,c\,\cos\beta\\ c^2=a^2+b^2-2\,a\,b\,\cos\gamma \end{array}$

Waarbij het steeds het gebruik van de cosinusregel voor de desbetreffende hoek betreft.

Als er slechts een zijde en twee hoeken (de congruentiestellingen ZHH of HZH) of twee zijden en de tegenoverliggende hoek van de grootste zijde (Congruentiestelling ZzH) bekend zijn, kan men eerst een van de ontbrekende hoeken met de sinusregel berekenen, waarna de derde hoek ook automatisch bekend is (180 gradenregel). Afsluitend kan men de cosinusregel toepassen om de derde zijde te bepalen.

Bewijs

Er bestaan vele bewijzen van de cosinusregel. We bespreken er hier twee

Vectorformulering

Met vectorrekening, waar het inwendig product van twee vectoren uitdrukt in termen van hun respectievelijke lengtes en hun ingesloten hoek, gaat dat als volgt:

De consinusregel stelt dat

$\,\!c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$

Beschouw de zijden als vectoren en noem:

$\vec a=\vec{CA},\ \vec b=\vec{CB},\ \vec c=\vec{AB}$.

Dan is:

$\vec c=\vec b - \vec a,$

zodat:

$c^2=\|\vec c\|^2=\|\vec b-\vec a\|^2=(\vec b-\vec a)\cdot (\vec b-\vec a)=\|\vec b\|^2+\|\vec a\|^2-2\,\vec a\cdot\vec b=a^2+b^2-2ab\cos \gamma$.

Vergelijking van oppervlakten

Een ander bewijs gaat door vergelijking van oppervlakten. We moeten onderscheid maken in het geval met scherpe hoek γ en het geval met stompe hoek γ

Geval met scherpe hoek γ

Fig 2: Met scherpe hoek γ

Figuur 2 laat een zevenhoek zien die verdeeld is in:

• de roze oppervlakten a², b² links en 2ab cos γ en c² rechts
• de driehoek ABC in het blauw
• grijze hulpdriehoeken alle congruent met driehoek ABC.

Uit vergelijking van de oppervlakten links en rechts blijkt:

$\,\!a^2+b^2=c^2+2ab\cos\gamma$,

waaruit de cosinusregel volgt.

Fig 3: Met stompe hoek γ

Geval met stompe hoek γ

Figuur 3 laat weer een zevenhoek zien die verdeeld is in:

• de roze oppervlakten a², b² en −2ab cos γ links en c² rechts
• twee keer in het blauw met driehoek ABC congruente driehoeken

Uit vergelijking van de oppervlakten links en rechts volgt direct de cosinusregel:

$\,\!a^2+b^2-2ab\cos\gamma=c^2$.

Bewijs m.b.v. de stelling van Pythagoras.

Omdat de stelling van Pythagoras eerder was bewezen dan de cosinusregel, kan de cosinusregel ook met deze stelling bewezen worden.

Zoals men in de figuur kan zien verdeelt de loodlijn d op de basis c de driehoek in twee rechthoekige driehoeken. Volgens de stelling van Pythagoras geldt:

afbeelding horend bij bewijs

$a^2=d^2+e^2$

en

$b^2=d^2+(c-e)^2.$

dus:

$b^2=a^2+c^2-2ce=a^2+c^2-2ca\cos(\beta).$

Zie ook

• Stelling van Pythagoras
• Sinusregel
• Tangensregel
• Sinus en cosinus