Criterium van Eisenstein

Het Criterium van Eisenstein geeft een voldoende voorwaarde voor een polynoom f met gehele coëfficienten, dat het irreducibel is. f is in dit geval irreducibel over de rationale getallen en, dat is in feite hetzelfde, over de gehele getallen

Beschouw f

$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0.\,$

Veronderstel dat er een priemgetal p is, zodat

• p niet a_n deelt,
• p wel alle andere a_i deelt, i<n en
• p² niet a₀ deelt.

Dan is f(x) irreducibel (over de rationale getallen).

Voorbeeld

p is een priemgetal, dan is

$x^{p-1}+x^{p-2}+\ldots+x+1 \!$

irreducibel. Het bewijs gaat als volgt

$x^p-1=(x-1)\left(x^{p-1}+x^{p-2}+\ldots+x+1\right)$

Na substitueren van x=y+1 is deze vergelijking te schrijven met binomiaalcoëfficiënten:

$x^{p-1}+x^{p-2}+\ldots+x+1=\frac{x^p-1}{x-1}=\frac{(y+1)^p-1}y=y^{p-1}+\sum_{j=p-1}^1\binom{p}{j}y^{j-1}$

Uit het criterium van Eisenstein volgt dan het polynoom in y, dus ook het oorspronkelijke polynoom in x irreducibel is.

Algemeen

Indien de gehele getallen worden vervangen door een uniek factorisatiedomein D, de rationale getallen door het quotiëntenlichaam F van D en p door een priemelement in D, dan geldt het criterium ook.

Geschiedenis

Het criterium is genoemd naar Ferdinand Eisenstein. Het werd als eerste door T. Schönemann gepubliceerd in Crelle's Journal 32 (1846), p. 100 en werd daarna gebruikt door Eisenstein in Crelle's Journal 39 (1850), pag. 166-169. Eisenstein paste het criterium toe op polynomen met coëfficiënten in Z[i], niet Z.