Criterium van Eisenstein

In de wiskunde, geeft het Criterium van Eisenstein een voldoende voorwaarde opdat een veelterm irreducibel is over de rationale getallen (of, equivalent hiermee, over de gehele getallen; zie ook het Lemma van Gauss).

Beschouw de volgende veelterm met gehele coëfficiënten.

$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0.\,$

Veronderstel dat er een priemgetal p bestaat zodat

• p elke a_i deelt voor i ≠ n
• p niet a_n deelt
• p² niet a₀ deelt.

Dan is f(x) irreducibel (over de rationale getallen).

Toepassing

Zij p een priemgetal, en z een complex getal waarvan de p-de macht één is (eenheidswortel) maar dat zelf niet gelijk is aan één. We zullen met behulp van het criterium van Eisenstein aantonen dat het polynoom

$X^{p-1}+X^{p-2}+\ldots+X+1 \!$

het minimaal polynoom van z over de rationale getallen is. Immers, z is een nulpunt van de veelterm X^p-1 en die kan altijd ontbonden worden als

$X^p-1=(X-1)\left(X^{p-1}+X^{p-2}+\ldots+X+1\right)$

Door in de tweede factor X=Y+1 te substitueren kan men deze herschrijven in termen van binomiaalcoëfficiënten:

$X^{p-1}+X^{p-2}+\ldots+X+1=\frac{X^p-1}{X-1}=\frac{(Y+1)^p-1}Y=Y^{p-1}+\sum_{j=p-1}^1\binom{p}{j}Y^{j-1}$

Uit het criterium van Eisenstein volgt dan dat de veelterm in Y, en dus ook de oorspronkelijke veelterm in X, irreducibel is.

De lichaamsuitbreiding $\mathbb{Q}(z)$ die ontstaat door aan de rationale getallen een primitieve p-de eenheidswortel z toe te voegen, heet cyclotomisch lichaam. Het is een lichaamsuitbreiding van graad p-1, dat wil zeggen dat $\mathbb{Q}(z)$ een (p-1)-dimensionale vectorruimte is over $\mathbb{Q}$.

Veralgemening

Indien de gehele getallen worden vervangen door een uniek factorisatiedomein D, de rationale getallen door het breukenveld F van D en p door een priemelement in D, dan gaat de analoge bewering op.

Geschiedenis

Het criterium is vernoemd naar Ferdinand Eisenstein. Het werd als eerste door T. Schönemann gepubliceerd in Crelle's Journal 32 (1846), p. 100, en werd gepopulariseerd door Eisenstein in Crelle's Journal 39 (1850), pag. 166-169. Eisenstein paste het criterium toe op polynomen met coëfficiënten in Z[i], niet Z.