Criterium van Eisenstein

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Het criterium van Eisenstein geeft een voldoende voorwaarde voor de irreducibiliteit van een polynoom met gehele coëfficienten. De polynoom die voldoet aan het criterium, is irreducibel over de rationale getallen en, dat is in feite hetzelfde, over de gehele getallen

Criterium[bewerken]

Laat

f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0

een polynoom zijn met gehele coëfficienten.

Veronderstel dat er een priemgetal p is, zodanig dat

  • p geen deler is van a_n
  • p wel deler is van alle andere coëfficienten a_i\ (i<n)
  • p^2 geen deler is van a_0,

dan is f(x) irreducibel (over de rationale getallen).

Voorbeeld[1][bewerken]

Als p een priemgetal is, dan is

x^{p-1}+x^{p-2}+\ldots+x+1 \!

irreducibel. Het bewijs gaat als volgt

x^p-1=(x-1)(x^{p-1}+x^{p-2}+\ldots+x+1)

Na de substitutie van x=y+1 is deze vergelijking te schrijven met binomiaalcoëfficiënten als:

x^{p-1}+x^{p-2}+\ldots+x+1=\frac{x^p-1}{x-1}=\frac{(y+1)^p-1}y=y^{p-1}+\sum_{j=1}^{p-1}\binom{p}{j}y^{j-1}.

Hieruit blijkt dat p geen deler is van de coëfficiënt 1 van de hoogste macht van y, p wel deler is van alle andere coëfficiënten, maar p^2 geen deler is van de constante term p. Uit het criterium van Eisenstein volgt nu dat de polynoom in y irreducibel is, en dus is ook de oorspronkelijke polynoom in x irreducibel.

Algemeen[bewerken]

Indien de gehele getallen worden vervangen door een uniek factorisatiedomein D, de rationale getallen door het quotiëntenlichaam F van D en p door een priemelement in D, dan geldt het criterium ook.

Geschiedenis[bewerken]

Het criterium is genoemd naar Ferdinand Eisenstein. Het werd als eerste door T. Schönemann gepubliceerd in Crelle's Journal 32 (1846), p. 100 en werd daarna gebruikt door Eisenstein in Crelle's Journal 39 (1850), pag. 166-169. Eisenstein paste het criterium toe op polynomen met coëfficiënten in Z[i], niet Z.

Referentie[bewerken]

  1. Pierre Samuel, "Théorie algébrique des nombres," Hermann 1967.