Criterium van Eisenstein

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Het Criterium van Eisenstein geeft een voldoende voorwaarde voor een polynoom f met gehele coëfficienten, dat het irreducibel is. f is in dit geval irreducibel over de rationale getallen en, dat is in feite hetzelfde, over de gehele getallen

Beschouw f

f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0.\,

Veronderstel dat er een priemgetal p is, zodat

  • p niet an deelt,
  • p wel alle andere ai deelt, i<n en
  • p2 niet a0 deelt.

Dan is f(x) irreducibel (over de rationale getallen).

Inhoud

Voorbeeld[1] [bewerken]

p is een priemgetal, dan is

x^{p-1}+x^{p-2}+\ldots+x+1 \!

irreducibel. Het bewijs gaat als volgt

x^p-1=(x-1)\left(x^{p-1}+x^{p-2}+\ldots+x+1\right)

Na substitueren van x=y+1 is deze vergelijking te schrijven met binomiaalcoëfficiënten:

x^{p-1}+x^{p-2}+\ldots+x+1=\frac{x^p-1}{x-1}=\frac{(y+1)^p-1}y=y^{p-1}+\sum_{j=p-1}^1\binom{p}{j}y^{j-1}

Uit het criterium van Eisenstein volgt dan het polynoom in y, dus ook het oorspronkelijke polynoom in x irreducibel is.

Algemeen [bewerken]

Indien de gehele getallen worden vervangen door een uniek factorisatiedomein D, de rationale getallen door het quotiëntenlichaam F van D en p door een priemelement in D, dan geldt het criterium ook.

Geschiedenis [bewerken]

Het criterium is genoemd naar Ferdinand Eisenstein. Het werd als eerste door T. Schönemann gepubliceerd in Crelle's Journal 32 (1846), p. 100 en werd daarna gebruikt door Eisenstein in Crelle's Journal 39 (1850), pag. 166-169. Eisenstein paste het criterium toe op polynomen met coëfficiënten in Z[i], niet Z.

Referentie [bewerken]

  1. Pierre Samuel, "Théorie algébrique des nombres," Hermann 1967.