Criterium van Eisenstein

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Het criterium van Eisenstein geeft een voldoende voorwaarde voor de irreducibiliteit van een polynoom met gehele coëfficienten. De polynoom die voldoet aan het criterium, is irreducibel over de rationale getallen en, dat is in feite hetzelfde, over de gehele getallen.

Criterium[bewerken]

Laat

f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0

een polynoom zijn met gehele coëfficienten.

Veronderstel dat er een priemgetal p is, zodanig dat

  • p geen deler is van a_n
  • p wel deler is van alle andere coëfficienten a_i\ (i<n)
  • p^2 geen deler is van a_0,

dan is f(x) over de rationale getallen irreducibel.

Voorbeeld[1][bewerken]

Als p een priemgetal is, dan is

x^{p-1}+x^{p-2}+\ldots+x+1 \!

irreducibel. Het bewijs gaat als volgt

x^p-1=(x-1)(x^{p-1}+x^{p-2}+\ldots+x+1)

Na de substitutie van x=y+1 is deze vergelijking te schrijven met binomiaalcoëfficiënten als:

x^{p-1}+x^{p-2}+\ldots+x+1=\frac{x^p-1}{x-1}=\frac{(y+1)^p-1}y=y^{p-1}+\sum_{j=1}^{p-1}\binom{p}{j}y^{j-1}.

Hieruit blijkt dat p geen deler is van de coëfficiënt 1 van de hoogste macht van y, p wel deler is van alle andere coëfficiënten, maar p^2 geen deler is van de constante term p. Uit het criterium van Eisenstein volgt nu dat de polynoom in y irreducibel is, dus is ook de oorspronkelijke polynoom in x irreducibel.

Algemeen[bewerken]

Indien de gehele getallen worden vervangen door een uniek factorisatiedomein D, de rationale getallen door het quotiëntenlichaam F van D en p door een priemelement in D, dan geldt het criterium ook.

Geschiedenis[bewerken]

Het criterium is naar Ferdinand Eisenstein genoemd. Het werd als eerste door T. Schönemann gepubliceerd,[2] maar werd daarna ook door Eisenstein gebruikt.[3] Eisenstein paste het criterium toe op polynomen met coëfficiënten in Z[i], niet Z.

Externe links[bewerken]

Voetnoten[bewerken]

Journal für die reine und angewandte Mathematik wordt afgekort tot Crelle's Journal.

  1. (fr) Pierre Samuel, "Théorie algébrique des nombres," Hermann 1967.
  2. (de) Journal für die reine und angewandte Mathematik, T Schönemann. "Von dejenigen Moduln, welche Potenzen von Primzahlen sind.", 1846. band 32, blz. 93
  3. (de) Journal für die reine und angewandte Mathematik, F Eisenstein. "Über die Irreducibilität und einige andere Eigenschaften der Gelichung, von welcher die Teilung der ganzen Lemniscate abhängt.", 1850. band 39, blz. 166-169