Cullengetal

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de wiskunde is een Cullengetal een natuurlijk getal van de vorm Cn = n · 2n + 1, met n een natuurlijk getal ongelijk 0. Cullengetallen werden als eerste bestudeerd door James Cullen in 1905. Cullengetallen vormen een speciaal geval van Prothgetallen.

Geschiedenis[bewerken]

De Ierse jezuietenpater en wiskundige James Cullen hield zich in 1905 bezig met de nu naar hem genoemde getallen. Het was hem opgevallen dat behalve C1=3 alle getallen van deze vorm tot aan C99 samengesteld zijn en dus geen priemgetallen zijn. Hij was niet zeker wat het getal C53 betreft, maar Allan J.C. Cunningham nam in 1906 deze onzekerheid weg, door aan te tonen dat 5591 een deler is. Cunningham bewees dat alle Cn met n ≤ 200 samengesteld zijn, met als mogelijke uitzondering n=141.

In 1958 bevestigte Raphael M. Robinson dat C141 een priemgetal is, en toonde aan dat met uitzondering van C1 en C141 alle Cullengetallen voor \scriptstyle n \le 1000 samengesteld zijn.

In 1984 bewees Wilfrid Keller dat C4713, C5795, C6611 en C18496 eveneens priem zijn, maar dat alle andere Cullengetallen Cn met n ≤ 30000 samengesteld zijn.

Eigenschappen[bewerken]

In 1976 toonde Christopher Hooley aan dat de natuurlijke dichtheid van naturlijke getallen n waarvoor Cn priem is, van de orde o(x) is voor x\to \infty. In dit opzicht zijn bijna alle Cullengetallen samengesteld; de enig bekende Cullenpriemgetallen zijn die met n = 1, 141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, en 481899 [1]. Vermoed wordt wel dat er oneindig veel Cullenpriemgetallen zijn.

Sinds augustus 2009 is het grootste bekende Cullenpriemgetal het getal 6679881 × 26679881 + 1 bestaande uit 2,010,852 cijfers.

Een Cullengetal Cn is deelbaar door p = 2n − 1 als p een priemgetal is van de vorm 8k - 3. Verder volgt uit de kleine stelling van Fermat dat als p een priemgetal anders dan 2 is, p deler is van Cm(k) voor iedere m(k)=(2^k-k)(p-1)-k met k > 0. Ook is aangetoond dat het priemgetal p deler is van C_{(p+1)/2} als 2 geen kwadratisch residu is modulo p, an dat als 2 wel een kwadratisch residu is modulo p, p deler is van C_{(3p-1)/2}

Het is tot nu ote onbekend of er een priemgetal p is zodat Cp ook een priemgetal is.

Generalisaties[bewerken]

Soms wordt een gegeneraliseerd Cullengetal gedefinieerd als een getal van de vorm n · bn + 1, waarin n + 2 > b; als een priemgetal in deze vorm geschreven kan worden, wordt het een gegeneraliseerd Cullenpriemgetal genoemd. Woodallgetallen worden soms Cullengetallen van de tweede soort genoemd.

Externe links[bewerken]

Bronnen, noten en/of referenties
  • Cullen, James (1905). Question 15897. Educ. Times (December 1905), 534.
  1. rij A005849 in OEIS