Cycloïde

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Ontstaan van een cycloïde
Enkele cycloïdes: een hypocycloïde (blauw), een hypocycloïde (groen) en een cardioïde (rood)

Een cycloïde (Grieks: κυκλος, cirkel en -ειδες, -achtig) is een wiskundige figuur die gevormd wordt door het pad dat wordt afgelegd door een punt op een cirkel, als deze cirkel over een rechte lijn rolt.

Wiskundige beschrijving[bewerken]

De cycloïde uit de figuur wordt met behulp van de parameter t beschreven door de vergelijkingen:

\! x=r(t-\sin(t))
\! y=r(1-\cos(t))

met daarin r de straal van de cirkel.

Enkele eigenschappen:

  • De oppervlakte onder een boog van een cycloïde is driemaal die van de vormende cirkel (Gilles Personne de Roberval, 1634).
  • De lengte van een boog is viermaal de diameter van de vormende cirkel (en dus de hoogte van de cycloïde) (Christopher Wren, 1658).
  • De cycloïde is de oplossing van het probleem van de brachistochroon, dat wil zeggen, een (kleine) bal die van een hoger naar een lager punt rolt (vanuit stilstand), bereikt het doel het snelste als het langs een cycloïde beweegt.
  • Een bal die in een cycloïde rolt vanuit stilstand, is in dezelfde tijd beneden voor alle punten op de cycloïde. Deze tautochrone kromme is ook de vorm van de "ideale slingerbeweging", waarbij de slingertijd onafhankelijk is van de uitwijking van de slinger.
  • De evolute van een cycloïde is weer een cycloïde met exact dezelfde afmeting. Ze ligt in horizontale richting een halve periode verschoven tegenover de oorspronkelijke cycloïde. In verticale richting ligt de evolute 2r lager. Elk boog van de evolute gaat op haar hoogste punt door de keerpunten van de oorspronkelijke cycloide. Zo ondersteunt de evolute als het ware de cycloïde waaruit ze ontstaan is.

Geschiedenis[bewerken]

De cycloïde werd voor het eerst bestudeerd door de Nicolaas van Cusa en later door Mersenne. De cycloïde kreeg zijn naam van Galileo Galilei in 1599. In 1634 toonde de Roberval aan dat het oppervlak onder een cycloïde precies drie keer de oppervlakte van haar genererende cirkel is, terwijl Christopher Wren in 1858 zien dat de lengte van een cycloïde precies vier keer de diameter van haar genererende cirkel is. Ook werd de cycloïde door de wiskundigen Evangelista Torricelli, Blaise Pascal, Christiaan Huygens Johan Bernoulli, Isaac Newton, Leibniz, Jacques Bernoulli en L'Hôpital bestudeerd. De cycloïde werd ook wel "De Helen van de meetkundigen" (naar Helena van Troje), aangezien zij verschillende ruzies tussen 17e-eeuwse wiskundigen veroorzaakte.

Toepassing[bewerken]

De cycloïde is de curve die een punt P op de buitenkant van een oneindig stijf rollend wiel beschrijft. Op het moment waar dat punt P het wegdek raakt, draait de snelheid van P van richting om en staat het punt stil. Alle andere punten op het wiel draaien wel door. Het stilstaande punt wordt de momentane pool, of het "ogenblikkelijk rotatiecentrum" genoemd.

Generalisatie[bewerken]

Ook de baan die een punt van een cirkel volgt als de cirkel niet langs een rechte lijn rolt, maar langs een andere figuur wordt cycloïde genoemd.

Een hypocycloïde

Hypocycloïde[bewerken]

Dit is de kromme die een punt aflegt op een cirkel die rolt zonder glijden in een grotere cirkel.

Geschiedenis[bewerken]

De hypocycloïde (gr: hupo (onder) + kuklos (cirkel, wiel) + eidos (vorm)), werd ontdekt in 1599 door Galilei. Ze werd bestudeerd door Albrecht Dürer in 1525, Rømer in 1674 en Daniel Bernoulli in 1725.

Vergelijking[bewerken]

Definitie door een parametervergelijking:

x(\theta) = (R-r) \cos \theta + r \cos \left(\frac{R-r}{r} \theta\right) \,
y(\theta) = (R-r) \sin \theta - r \sin \left(\frac{R-r}{r} \theta\right) \,

met R\, de straal de basiscirkel en r\, die van de draaiende cirkel. Nemen we q={R \over r}, dan kunnen we dit verkort noteren als :

x(\theta) = r 	\left[(q-1) \cos \theta + \cos (q-1) \theta 	\right] \,
y(\theta) = r 	\left[(q-1) \sin \theta - \sin (q-1) \theta \right]\,

Toepassing[bewerken]

De slinger van Foucault volgt deze kromme.

Epicycloïde[bewerken]

Een epicycloïde.

Dit is de kromme die een punt aflegt op een cirkel die rolt zonder glijden bovenop een grotere cirkel.

Geschiedenis[bewerken]

De Epicycloïde (gr: epi (bovenop) + kuklos (cirkel, wiel) + eidos (vorm)) gaat terug naar de Oudheid: Aristoteles en Ptolemaeus gebruikten deze kromme voor de beweging van de planeten in hun geocentrisch systeem, zie Epicykels.

De kromme werd verder nog bestudeerd door Rømer (1674), Girard Desargues, Charles Stephen, Daniel Bernoulli (1725), Dürer, Huygens, Leibniz, L'Hôpital, Euler, Halley, Isaac Newton. Deze laatste behandelde de lengte van de kromme in zijn Philosophiae Naturalis Principia Mathematica.

Vergelijking[bewerken]

Definitie door een parametervergelijking: (let op de gelijkenissen met de Hypocycloïde)

x(\theta) = (R+r) \cos \theta - r \cos \left(\frac{R+r}{r} \theta\right) \,
y(\theta) = (R+r) \sin \theta - r \sin \left(\frac{R+r}{r} \theta\right) \,

met R\, de straal de basiscirkel en r\, die van de draaiende cirkel. Nemen we q={R \over r}, dan kunnen we dit verkort noteren als :

x(\theta) = r 	\left[(q+1) \cos \theta - \cos (q+1) \theta 	\right] \,
y(\theta) = r 	\left[(q+1) \sin \theta - \sin (q+1) \theta \right]\,
Epizykloiden.png

Speciale gevallen[bewerken]

Cardioïde

Is r=R, dan spreken we over een cardioïde. Deze heeft (in polaire coörd.) de vergelijking r = R (1 + \cos\varphi); of in cartesiaanse coördinaten (x^2 + y^2)^2 - 2 R x (x^2 + y^2) - R^2 y^2 \, = \, 0.

Is R=2×r, dan spreken we over een nefroïde; een kromme in de vorm van een nier.

Zie ook[bewerken]

Externe links[bewerken]