Darcy-Weisbach vergelijking

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De Darcy-Weisbach vergelijking is een empirische vergelijking uit de hydraulica die het verband weergeeft tussen enerzijds het verlies in piëzometrische hoogte (of drukverlies) ten gevolge van wrijving over een bepaalde afstand in een leiding waardoor een fluïdum (gas of vloeistof) stroomt, en anderzijds de gemiddelde snelheid van het fluïdum. De vergelijking is vernoemd naar Henry Darcy and Julius Weisbach.

De Darcy-Weisbach vergelijking bevat een dimensieloze wrijvingsfactor, die de Wrijvingscoëfficiënt van Darcy wordt genoemd. Ook de naam Wrijvingscoëfficiënt van Darcy-Weisbach of Wrijvingscoëfficiënt van Moody worden gebruikt.

De vergelijking in functie van piëzometrische hoogte[bewerken]

Met de Darcy-Weisbach vergelijking kan het verlies aan stijghoogte als volgt worden berekend:

h_f = f \cdot \frac{L}{D} \cdot \frac{V^2}{2g}

waarbij:

De vergelijking in functie van druk[bewerken]

Met de Darcy-Weisbach vergelijking kan het drukverlies als volgt worden berekend:

 \Delta P = f \cdot \rho \cdot \frac{L}{D} \cdot \frac{V^2}{2}

waarbij:

  • ΔP = het drukverlies ten gevolge van wrijving, uitgedrukt in [Pa];
  • f = de dimensieloze Darcy-wrijvingscoëfficiënt;
  • ρ = de dichtheid van het fluïdum, [kg×m-3];
  • L = de lengte van de leiding, [m];
  • D = de hydraulische diameter van de leiding, [m];
  • V = de gemiddelde stroomsnelheid, [m×s-1];

De Darcy-wrijvingscoëfficiënt f[bewerken]

Moody diagramma, met de Darcy-Weisbach wrijvingscoëfficiënt f ("friction factor") uitgezet tegenover het Reynolds getal voor verschillende waarden van de ruwheid

De Darcy-wrijvingscoëfficiënt f is geen constante, maar hangt af van de dimensies van de leiding en van de stromingssnelheid van het fluïdum. De darcy-wrijvingscoëfficiënt kan opgezocht worden in grafieken, de zogenaamde Moody diagrammas. De Darcy-wrijvingscoëfficiënt f wordt daarom ook wel aangeduid als de Moody-wrijvingscoëfficiënt. Soms wordt hij ook Blasius-wrijvingscoëfficiënt genoemd, naar de benaderende formules opgesteld door Heinrich Blasius.

Voor laminaire stromingstoestanden, waarbij het Reynolds getal Re kleiner is dan ± 2000, kan f benaderd worden door:

 f = \frac{64}{\text{Re}}

Voor stromingen in het overgangsgebied tussen laminaire en turbulente stroming, waarbij het Reynolds getal gelegen is tussen ± 2300 en ± 3500, is er nog geen eenduidige berekenings- of benaderingsmethode voor de Darcy-wrijvingscoëfficiënt.

Voor turbulente stromingstoestanden, waarbij het Reynolds getal groter is dan ± 4000, kan f opgezocht worden in Moody-diagrammas of benaderend berekend worden met de Colebrook-vergelijking, ook wel Colebrook-White vergelijking genoemd. Colebrook en White voerden rond 1937 experimenten uit op turbulente vloeistofstroming doorheen buizen en leidden een verband af tussen de wrijvingsfactor en de wandruwheid van de buis:[1]

 \frac {1}{\sqrt{f}} = -2 . \log_{10}\left(\frac{2,51}{Re . \sqrt{f}} + \frac{\varepsilon}{3,7 . D}\right)

waarin D de hydraulische diameter van de leiding is en ε de wandruwheid van de leiding. Dit is een impliciete functie in f; ze moet met een iteratieve methode worden opgelost, uitgaande van een geschatte waarde van f. Dit is een moeilijke en tijdrovende berekening, tenzij ze met een computerprogramma gebeurt. Het Moody-diagramma is een grafische voorstelling van deze vergelijking. Voor zeer turbulente stroming, met grote waarde van het Reynoldsgetal, kan de eerste term van het rechter lid verwaarloosd worden en f berekend als functie van de verhouding ε/D; dit is het gebied in het Moody-diagramma waar de lijnen horizontaal lopen. Enkele typische waarden voor de wandruwheid zijn 0,01 mm (dunne kunststofbuizen); 0,5 mm (gladde betonbuis; matig geroeste stalen buis); 1 mm (betonbuis; rioolleiding) of 5 mm (ruwe betonbuis; sterk geroeste stalen leiding).

Er zijn een aantal expliciete, zij het benaderende, formuleringen van de Colebrook-White vergelijking voorgesteld. Een van de meest gebruikte, voor stroming in een volledig gevulde leiding met cirkelvormige doorsnede, is de Swamee-Jain vergelijking:[2]

f = \frac{0,25}{\left[\log_{10} \left(\frac{\varepsilon}{3,7D} + \frac{5,74}{\mathrm{Re}^{0,9}}\right)\right]^2}

Opmerking[bewerken]

Er bestaat ook een Darcy-wrijvingscoëfficiënt f voor stroming in open kanalen welke berekend kan worden met een bijzondere vorm van de Colebrook-White vergelijking. Voor stroming in open kanalen gelden echter andere formules voor het berekenen van piëzometrische hoogte of drukverlies dan de Darcy-Weisbach vergelijking, die enkel geldig is voor leidingen (gesloten kanalen).

Praktische toepassingen[bewerken]

In toepassingen in de hydraulica en waterbouwkunde, is het meestal nuttig om het verlies aan stijghoogte te kennen in functie van het volumedebiet in een leiding. De gemiddelde stroomsnelheid kan als volgt uitgeschreven worden in functie van het volumedebiet:

V^2 = \frac{Q^2}{A_w^2}

waarbij:

  • V = de hogervermelde gemiddelde stroomsnelheid, uitgedrukt in [m×s-1];
  • Q = het volumedebiet, [m3×s-1];
  • Aw = de natte doorsnede, [m2].

In het algemene geval van een willekeurige gevulde leiding, zal de waarde van Aw niet onmiddellijk gekend zijn, omdat deze waarde een impliciete functie is van de helling van de leiding, de vorm van de dwarsdoorsnede, het debiet en andere variabelen. Wanneer echter aangenomen wordt dat de leiding volledig gevuld is en een cirkelvormige dwarsdoorsnede heeft, zoals meestal het geval is in praktische toepassingen kan de term Aw2 als volgt worden uitgeschreven:

A_w^2 = \left(\frac{\pi D^2}{4}\right)^2 = \frac{\pi^2 D^4}{16}

met D de diameter van de leiding.

Door substitie van bovenstaande uitdrukking in oorspronkelijke de Darcy-Weisbach vergelijking kan het verlies aan piëzometrische hoogte en druk in functie van het debiet in een volledig gevulde cirkelvormige leiding berekend worden:

  • Verlies aan piëzometrische hoogte
h_f = \frac{8 f L Q^2}{g \pi^2 D^5}
  • Drukverlies
 \Delta P =\frac{8 f \rho L Q^2}{\pi^2 D^5}

waarbij alle symbolen gedefinieerd zijn zoals bij bovenstaande formules.

Zie ook[bewerken]

Referenties[bewerken]

Externe links[bewerken]

Bronnen, noten en/of referenties
  1. C.F. Colebrook & C.M. White, "Experiments with fluid friction in roughened pipes." Proc. Royal Soc. Ser. A Math. Phys. Sci. 161 (1937), pp. 367-381
  2. P.K. Swamee & A.K. Jain, "Explicit equations for pipe flow problems." J. Hydraul. Engng. 102 (1976), pp. 657–664