Elementen van Euclides

De Elementen (Grieks: Στοιχεῖα - Stoicheia) is een meetkundig en rekenkundig verzamelwerk, bestaande uit dertien boeken, geschreven door de Hellenistische wiskundige Euclides te Alexandrië in het begin van de derde eeuw voor Christus. Hierin verzamelde en formaliseerde hij 468 wiskundige bewijzen die in de eeuwen daarvoor reeds door andere wiskundigen waren bewezen. Elk boek bestaat uit twee delen:

• (I) definities (138 in totaal).
• (II) theorema's (468 in totaal) en de bewijzen voor die theorema's met behulp van definities en eerdere bewezen theorema's.

Alleen in het eerste boek komen ook nog vijf postulaten en vijf algemeenheden voor. Voor de meetkundige bewijzen mag men gebruikmaken van een passer (om cirkels te trekken) en een liniaal (om lijnen te trekken). Er wordt niet gemeten, noch met de passer, noch met de liniaal.

Stelling I.1: Een gelijkzijdige driehoek construeren op een gegeven eindige rechte. Omdat het punt Α het middelpunt is van de cirkel ΓΔΒ is ΑΓ gelijk aan ΑΒ (Definitie 1.15). Eveneens, omdat het punt Β het middelpunt is van de cirkel ΓΕΑ is ΒΓ gelijk aan ΑΒ (Definitie 1.15). Omdat ΑΓ nu gelijk is aan ΑΒ, en ΑΒ gelijk aan ΒΓ, zijn ΑΓ, ΑΒ en ΒΓ gelijk aan elkaar [Alg.1] Dus is de driehoek ΑΒΓ gelijkzijdig, en geconstrueerd op een eindige rechte. ὅπερ ἔδει ποιῆσαι. (Vertaling: Wat gedaan moest worden = QEF)

Inhoud

Boek 1-4 Vlakke meetkunde

Boek 1: Fundamenten van de meetkunde: eigenschappen van driehoeken, parallellen en oppervlakte

Boek 2: Geometrische algebra

Boek 3: Eigenschappen van cirkels

Boek 4: Constructie van veelvlakken in cirkels

Boek 5-10 Verhoudingen

Boek 5: Eigenschappen van verhoudingen

Boek 6: Gelijkvormigheid en verhoudingen binnen de meetkunde

Boek 7: Fundamenten van de getallenleer

Boek 8: Verdere getallenleer

Boek 9: Verdere getallenleer, even, oneven en priemgetallen

Boek 10: Irrationale groottes

Boek 11-13 Ruimtemeetkunde

Boek 11: Ruimtemeetkunde

Boek 12: Berekening van inhouden van ruimtelijke figuren

Boek 13: Regelmatige ruimtelijke figuren

Postulaten

Zie Postulaten van Euclides

Invloed

De invloed van de Elementen is enorm groot, het bleef een basiswerk in het onderwijs en de meetkunde tot in de twintigste eeuw. De strikte methode om met behulp van de rede vanuit slechts enkele axioma's verscheidene theorema's te bewijzen bleef van belang in de ontwikkeling van de wetenschap en de wiskunde. Het beïnvloedde ook het werk van wetenschappers (zoals Nicolaus Copernicus en Isaac Newton), wiskundigen en logici (bijvoorbeeld Bertrand Russell en Alfred North Whitehead) en filosofen als René Descartes en Baruch Spinoza.

Verspreiding van de tekst

In de vierde eeuw n.Chr. produceerde Theon van Alexandrië een editie van Euclides, die op zo'n grote schaal werd gebruikt, dat zij de enige overlevende bron werd, totdat in 1808 de Fransman François Peyrard in de Napoleontische periode in de Vaticaanse Bibliotheek een manuscript ontdekte, dat niet tot de editie van Theon was te herleiden. Dit manuscript, het Heiberg manuscript, is afkomstig uit een Byzantijnse werkplaats en dateert van ca. 900 n.Chr. Dit werk is de basis geweest voor alle moderne edities.

Hoewel bijvoorbeeld bekend aan Cicero, is er geen bestaand bewijs dat de tekst voorafgaand aan de vertaling van Boethius rond het jaar 500 n.Chr. ooit in het Latijn is vertaald. De Arabieren verkregen de Elementen van de Byzantijnen in ongeveer 760 n.Chr; deze versie, door Proclo, een leerling van Euclides, werd tijdens het bewind van Haroen ar-Rashid circa 800 n.Chr. in het Arabisch vertaald De Byzantijnse geleerde Arethas gaf in de late negende eeuw opdracht tot het kopiëren van een van de bestaande Griekse manuscripten van Euclides. Hoewel bekend in Byzantium, was de Elementen voor West-Europa verloren tot ca.. 1120, toen de Engelse monnik Adelard van Bath het werk vanuit het Arabisch in het Latijn vertaalde.

De eerste gedrukte uitgave verscheen in 1482 (op basis van Giovanni Campano's editie van 1260. Sinds die tijd is het werk in vele talen vertaald en in ongeveer duizend verschillende edities gepubliceerd. De Oudgriekse uitgave van Theon werd in 1533 teruggevonden. In 1570 voegde John Dee een alom gerespecteerd "wiskundig voorwoord", toe, samen met een grote hoeveelheid aantekeningen en aanvullend materiaal, aan de eerste Engelse uitgave door Henry Billingsley. In Nederland verzorgde Claes Jansz Vooght de eerste Nederlandse vertaling in 1695.

Exemplaren van de Griekse tekst bestaan nog steeds. Sommigen daarvan zijn te vinden in de Vaticaanse Bibliotheek en de Bodleian Library in Oxford. De beschikbare manuscripten zijn van variabele kwaliteit, en altijd onvolledig. Door zorgvuldige analyse van de vertalingen en originelen, heeft men hypothesen opgesteld over de inhoud van de oorspronkelijke tekst, waarvan echter geen kopieën meer beschikbaar zijn.

Algemeenheden

1. Dingen die aan een ander ding gelijk zijn, zijn ook aan elkaar gelijk.

(als A gelijk is aan C, en B is gelijk aan C, dan is A gelijk aan B)

2. Als men aan gelijke dingen gelijke dingen toevoegt, zijn de totalen ook gelijk.

(als A gelijk is aan B, dan is A+C gelijk aan B+C)

3. Als men van gelijke dingen gelijke dingen afneemt, zijn de resten ook gelijk.

(als A gelijk is aan B, dan is A-C gelijk aan B-C)

4. Dingen die met elkaar overeenkomen zijn gelijk.

(als figuur A op figuur B past, en figuur B op A past, dan zijn de figuren gelijk)

5. Het geheel is groter dan het deel.

(A+B is groter dan A)

Opmerking: A, B en C zijn strikt positief.

Zie ook

• De revolutionibus orbium coelestium van Copernicus
• Philosophiae naturalis principia mathematica van Newton
• Principia mathematica van Russel en Whitehead
• Meditationes de prima philosophia van Descartes
• Ethica ordine geometrico demonstrata van Spinoza

Externe links

• De Elementen in het Nederlands
• De Elementen in het Grieks (pdf)
• De Elementen in het Grieks, met Engelse vertaling (en)

Voetnoten

Mediabestanden

Zie de categorie Elements of Euclid van Wikimedia Commons voor meer mediabestanden.