Dedekindsnede

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Dedekindsnede om het irrationale getal \sqrt{2} te construeren

Een Dedekindsnede, ook snede van Dedekind of kortweg snede genoemd, is een speciale deelverzameling van de rationale getallen die een reëel getal voorstelt. Dedekindsneden worden gebruikt om uit de rationale getallen \mathbb{Q} de reële getallen \mathbb{R} te construeren. Dedekindsneden zijn genoemd naar Richard Dedekind.

Definitie[bewerken]

Een Dedekindsnede α is een deelverzameling van \mathbb{Q} die aan de volgende eisen voldoet:

  • \alpha\neq\empty en \alpha\neq\mathbb{Q}
  • Als p\in\alpha, q\in\mathbb{Q} en \!\,q<p dan is q\in \alpha
  • Bij p\in\alpha is er een r\in\alpha zodat \!\,r>p

De verzameling van alle sneden blijkt equivalent te zijn met \mathbb{R}

Voorbeeld[bewerken]

De snede die het reële getal \sqrt{2} voorstelt is:

\{q\in\mathbb{Q}: (q<0) \or (q^2<2)\}

Deze snede is gedefinieerd als de verzameling van alle rationale getallen die kleiner zijn dan nul of waarvan het kwadraat niet groter is dan 2. Deze verzameling van rationale getallen is een Dedekindsnede omdat ze voldoet aan bovenstaande definitie. Bijzonder aan deze snede is dat ze in de constructie van Dedekind overeenkomt met het reëel getal \sqrt{2}.

We zullen sneden verder aanduiden met Griekse letters en rationale getallen met gewone letters.

Eigenschappen van de reële getallen[bewerken]

Net als de rationale getallen vormen de reële getallen een geordend lichaam (In België spreekt men van een veld).

Kleinste-bovengrens-eigenschap[bewerken]

Wat \mathbb{R} uniek maakt ten opzichte van \mathbb{Q} is dat elke naar boven begrensde deelverzameling van \mathbb{R} een kleinste bovengrens heeft. \mathbb{Q} heeft deze eigenschap niet. Neem bijvoorbeeld de verzameling

\{q\in\mathbb{Q}: (q<0) \or (q^2<2)\}.

Deze verzameling heeft geen kleinste bovengrens in \mathbb{Q}, terwijl

\{r\in\mathbb{R}:(r<0) \or (r^2<2)\}

wel een kleinste bovengrens heeft in \mathbb{R} en wel \sqrt{2}. Uit het feit dat \mathbb{R} wel de kleinste bovengrens eigenschap heeft en \mathbb{Q} niet, volgt ook dat \mathbb{R} volledig is en \mathbb{Q} niet.

Dedekindsneden en de eigenschappen van de reële getallen[bewerken]

Het blijkt dat sneden aan de eigenschappen van de reële getallen voldoen. Hiervoor moeten we het volgende definiëren:

Orderelatie voor sneden[bewerken]

We definiëren "\alpha <\beta" als: \alpha is een echte deelverzameling van \beta. Met echte deelverzameling bedoelen we dat de verzamelingen niet gelijk mogen zijn. Duidelijk is dan dat er of \alpha <\beta of \alpha =\beta of \beta <\alpha geldt. Uit deze definitie volgt ook de kleinste-bovengrens-eigenschap van de sneden.

Optelling voor sneden[bewerken]

We definiëren voor sneden de optelling, neutraal element voor optelling en inverse element. Deze definities blijken te voldoen aan de axioma's voor optelling.

Optelling[bewerken]

Als α en β sneden zijn dan definiëren we de optelling α+β als de verzameling van alle sommen a+b waarbij a ∈ α en b ∈ β. De som blijkt een snede te zijn.

Neutraal element voor optelling[bewerken]

We definiëren het neutrale element voor optelling 0 als de verzameling van alle negatieve rationale getallen, hetgeen ook een snede is. Duidelijk is dat 0 dezelfde rol speelt als 0 voor \mathbb{Q}.

Inverse voor optelling[bewerken]

Gegeven α definiëren we –α als de verzameling van alle p\mathbb{Q} met de eigenschap dat er een r>0 is zodat –p–r ∉ α. De inverse is een snede.

Vermenigvuldiging voor sneden[bewerken]

Vermenigvuldiging is wat lastiger, dus beperken we ons eerst tot vermenigvuldiging voor positieve sneden, de sneden waarvoor α > 0 geldt. Later zullen we de definitie compleet maken. De definities blijken te voldoen aan de axioma's voor vermenigvuldiging en aan de distributieve wet.

Vermenigvuldiging[bewerken]

Als α en β positieve sneden zijn, definiëren we de vermenigvuldiging αβ als de verzameling van alle q\mathbb{Q} waarvoor geldt dat q<ab, waarbij a en b zo worden gekozen zodat a∈α en b∈β, a>0, b>0. Het product is een snede.

Neutraal element voor vermenigvuldiging[bewerken]

We definiëren het neutrale element voor vermenigvuldiging 1 als de verzameling van alle negatieve rationale getallen kleiner dan 1. Duidelijk is dat 1 dezelfde rol speelt als 1 voor \mathbb{Q}. De zo gedefinieerde 1 is een snede.

Complete vermenigvuldiging[bewerken]

We maken de definitie voor vermenigvuldiging compleet door te definiëren dat:

  • α0 = 0α = 0
  • αβ=(–α)(–β) als α < 0 en β < 0
  • αβ=–((–α)β) als α < 0 en β > 0
  • αβ=–(α(–β)) als α > 0 en β < 0

Inbedding van de rationale getallen[bewerken]

De rationale getallen zijn een deelverzameling van de reële getallen. Er moet dus een deelverzameling sneden bestaan, die \mathbb{Q} representeren. Daarom associëren we met elke q\in\mathbb{Q} de verzameling q* bestaande uit alle p\in\mathbb{Q} zodanig dat p<q. Duidelijk is dat q* een snede is.

Rechtvaarding voor Dedekindsneden[bewerken]

Binnen de algebra is er de stelling dat twee geordende lichamen met de kleinste-bovengrens-eigenschap isomorf met elkaar zijn. Duidelijk is dat de Dedekindsneden en \mathbb{R} beiden geordende lichamen zijn met de kleinste-bovengrens-eigenschap. Omdat ze dus isomorf zijn, hebben ze dezelfde algebraïsche eigenschappen. Derhalve zijn Dedekindsneden gerechtvaardigd als constructie van de reële getallen.

Cauchyrijen[bewerken]

Een andere methode om uit \mathbb{Q} de reële getallen \mathbb{R} te construeren gaat met behulp van Cauchyrijen. Ook deze methode levert een geordend lichaam op met de kleinste bovengrens eigenschap en is dus equivalent met de methode van Dedekindsneden.

Literatuur[bewerken]

De volgende boeken behandelen de constructie van de reële getallen uit de rationale getallen inclusief bewijzen:

  • (en) Rudin, W. - Principles of Mathematical Analysis
  • (en) Landau, E.G.H. - Foundations of Analysis
  • (en) Thurston, H.A. - The Number System
  • (en) Knopp, K. - Theorie and Application of Infinite Series
  • (en) Hewitt, E & Stromberg, K - Real and Abstract Analysis