Deelruimtetopologie
Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
In de topologie kan men van elke deelverzameling van een topologische ruimte opnieuw een topologische ruimte maken door er een zogenaamde deelruimtetopologie, spoortopologie of geïnduceerde topologie op te definiëren.
De zo verkregen topologische ruimte heet een deelruimte van de oorspronkelijke ruimte.
Inhoud |
[bewerken] Definitie
Zij 
een topologische ruimte en zij A een willekeurige (niet noodzakelijk open) deelverzameling van X. Dan kunnen we op A als volgt een nieuwe topologie definiëren:
De open verzamelingen in A zijn de doorsneden van A met de open verzamelingen van de oorspronkelijke topologie op X.
Technisch is dit gelijkwaardig met de initiale topologie van de inclusie-afbeelding
die elk element van A op zichzelf afbeeldt.
[bewerken] Erfelijkheid
Een eigenschap P van topologische ruimtes wordt ook wel erfelijk genoemd als voor elke topologische ruimte de eigenschap P heeft geldt dat elke deelruimte 
die eigenschap ook heeft.
[bewerken] Voorbeelden van erfelijke eigenschappen
- Het zijn van een Hausdorff-ruimte, of een reguliere ruimte, en in het algemeen: de scheidingsaxioma's
- De aftelbaarheidsaxioma's, in het bijzonder eerste aftelbaarheid en tweede aftelbaarheid
- Het totaal onsamenhangend zijn, zie samenhang.
[bewerken] Voorbeelden van eigenschappen die niet erfelijk zijn
- Samenhang zelf.
is wel samenhangend, maar de deelruimte 
niet. - Om dezelfde reden is wegsamenhang ook geen erfelijke eigenschap.
- Compactheid is geen erfelijke eigenschap. Immers (0,1) is een niet-compacte deelruimte van de compacte ruimte [0,1]. Compactheid gaat wél over op gesloten deelruimten: immers, van een open overdekking van de deelruimte maakt men een open overdekking van de oorspronkelijke ruimte door er één element (het complement van de deelruimte) aan toe te voegen. Uit de resulterende eindige deeloverdekking haalt men dit ene element weer weg.
- Het separabel zijn van ruimtes is geen erfelijke eigenschap. Zo is het vlak van Sorgenfrey wel separabel, maar de lijn y = − x is niet separabel. Voor metrische ruimtes echter is separabiliteit wel een erfelijke eigenschap.
