Definietheid

Definietheid is een term uit het wiskundige deelgebied van de lineaire algebra. Definietheid beschrijft welke tekens reële kwadratische vormen kunnen aannemen, die door matrices of algemener door bilineaire vormen worden voortgebracht.

Definietheid van bilineaire- en sesquilineaire vormen

Zij $V$ een vectorruimte over de reële (of complexe) getallen.

Een symmetrische bilineaire vorm $\langle{\cdot}, {\cdot}\rangle\colon V\times V\to\mathbb R$ (dat wil zeggen een hermitische sesquilineairvorm $\langle{\cdot}, {\cdot}\rangle\colon V\times V\to \mathbb{C}$) noemt men

positief definiet,	wanneer $\langle v,v\rangle>0$
positief semidefiniet,	wanneer $\langle v,v\rangle\geq0$
negatief definiet,	wanneer $\langle v,v\rangle<0$
negatief semidefiniet,	wanneer $\langle v,v\rangle\leq0$

respectievelijk voor alle $v\in V$, $v\not=0$ geldt. Merk op dat $\langle v,v\rangle$ ook in het complexe geval vanwege de vereiste hermitischiteit altijd reëel is.
Als geen van deze voorwaarden van toepassing is noemt men deze vorm indefiniet. Precies in dit geval kan $\langle v,v\rangle$ zowel positieve als negatieve waarden aannemen.

Definietheid van matrices

Elke kwadratische matrix beschrijft een bilineaire vorm op $V = \R^n$ (dat wil zeggen een sesquilineare vorm op $V = \C^n$). Men noemt een vierkante matrix daarom positief definiet, als deze eigenschap op de door de matrix gedefinieerde bilineaire- of sesquilineare vorm van toepassing is. Op dezelfde wijze definiëren we ook de andere eigenschappen. Dit betekent: een willekeurige (eventueel symmetrische als ook hermitische) $(n\times n)$-matrix $A$ is

positief definiet,	wanneer $x^TAx > 0$
positief semidefiniet,	wanneer $x^TAx \geq 0$
negatief definiet,	wanneer $x^TAx < 0$
negatief semidefiniet,	wanneer $x^TAx \leq 0$

voor alle $n$-rijige kolomvectoren $x \neq 0$.