Definietheid

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de lineaire algebra, een deelgebied van de wiskunde beschrijft definietheid welke tekens reële kwadratische vormen die door matrices of algemener door bilineaire vormen worden voortgebracht, kunnen aannemen. Een definiete kwadratische vorm heeft voor elke vector ongelijk 0 hetzelfde teken. Is dat teken positief, dan heet de vorm positief-definiet; is het negatief, dan negatief-definiet. Is de kwadratische vorm voor alle vectoren niet-negatief, dan heet ze positief-semidefiniet; is ze niet-positief, dan negatief-semidefiniet. Kwadratische vormen corresponderen eenduidig met symmetrische bilineaire vormen, zodat de definietheid in termen van symmetrische bilineaire vormen gegeven kan worden.

Definietheid van bilineaire- en sesquilineaire vormen[bewerken]

Zij V een vectorruimte over de reële of complexe getallen.

Een symmetrische bilineaire vorm \langle{\cdot}, {\cdot}\rangle\colon V\times V\to\mathbb R en in het geval van een complexe vectorruimte een hermitische sesquilineairvorm \langle{\cdot}, {\cdot}\rangle\colon V\times V\to \mathbb{C} noemt men

positief-definiet, als \langle v,v\rangle>0
positief-semidefiniet, als \langle v,v\rangle\geq0
negatief-definiet, als \langle v,v\rangle<0
negatief-semidefiniet, als \langle v,v\rangle\leq0

geldt voor alle v\in V, v\neq 0. Merk op dat \langle v,v\rangle ook in het complexe geval vanwege de vereiste hermitischiteit altijd reëel is. Als aan geen van deze voorwaarden voldaan is, noemt men de vorm indefiniet. Alleen dan kan \langle v,v\rangle zowel positieve als negatieve waarden aannemen.

Definietheid van matrices[bewerken]

Elke reële of complexe vierkante matrix van de orde n beschrijft respectievelijk een bilineaire vorm op V = \R^n of een sesquilineare vorm op V = \C^n. Men noemt een vierkante matrix daarom positief-definiet, als deze eigenschap op de door de matrix gedefinieerde bilineaire of sesquilineare vorm van toepassing is. Op dezelfde wijze worden ook de andere eigenschappen gedefinieerd. Dit betekent[1]: een symmetrische als ook een hermitische matrix A van de orde n is:

positief-definiet, als x^TAx > 0
positief-semidefiniet, als x^TAx \geq 0
negatief-definiet, als x^TAx < 0
negatief-semidefiniet, als x^TAx \leq 0

voor alle n-rijige kolomvectoren x \neq 0.

Eigenwaarden[bewerken]

Een symmetrische matrix is dan en slechts dan positief-definiet als al haar eigenwaarden positief zijn.[2]

Voorbeeld[bewerken]

De onderstaande tabel laat twee mogelijkheden voor 2×2-matrices zien.

matrix A definietheid geassocieerde kwadratische vorm
Q_A(x,y)
\{(x,y):Q_A(x,y)=1\}
\!\;\begin{bmatrix} 1/4 & 0\\ 0 &  1\end{bmatrix} positief-definiet \tfrac 14 x^2 + y^2 Ellipse in coordinate system with semi-axes labelled.svg
Ellips
\begin{bmatrix} 1/4 & 0\\ 0 & -1/4\end{bmatrix} indefiniet \tfrac 14 x^2 -  \tfrac 14 y^2 Hyperbola2.png
Hyperbool

Referenties[bewerken]

  1. Horn, Johnson, 1985, Hoofdstuk 7.
  2. Horn, Johnson, 1985, Stelling 7.2.1