Dekpuntstelling van Brouwer

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De dekpuntstelling van Brouwer gaat over continue afbeeldingen in een n-dimensionale topologische ruimte. Als door dergelijke afbeeldingen bepaalde gebieden in zichzelf afgebeeld worden, wordt ten minste één punt, het dekpunt, op zichzelf afgebeeld.

Stelling[bewerken]

Laat D de gesloten eenheidsbol zijn in de n-dimensionale ruimte \R^n en f  een continue afbeelding van D naar D, dan heeft f  ten minste één dekpunt; dat wil zeggen: er is een x in D, waarvoor f(x) = x.

Of anders geformuleerd: een continue afbeelding f  van D naar D laat ten minste één punt van D op zijn plaats.

Voorbeeld[bewerken]

Een draaiing om de oorsprong van de gesloten eenheidsschijf in het platte vlak (alle punten met afstand ≤ 1 tot de oorsprong, het punt met coördinaten (0,0)). Een dergelijke draaiing is een continue afbeelding van de gesloten eenheidsschijf naar zichzelf. Inderdaad laat elke dergelijke draaiing de oorsprong (het middelpunt) op zijn plek.

Geschiedenis[bewerken]

De dekpuntstelling van Brouwer was een van de vroege successen van de algebraïsche topologie en is de basis van meer algemene dekpuntstellingen, die belangrijk zijn in de functionaalanalyse. Het geval n = 3 werd in 1904 als eerste bewezen door Piers Bohl (het artikel werd gepubliceerd in de Journal für die reine und angewandte Mathematik). Vervolgens bewees L. E. J. Brouwer ditzelfde geval in 1909. Jacques Hadamard bewees het algemene geval in 1910. Brouwer vond hier in 1912 een alternatief bewijs voor. Aangezien deze vroege bewijzen alle niet-constructieve, indirecte bewijzen waren, strookten ze niet met Brouwers intuïtionistische idealen. Methoden om (benaderingen van) dekpunten te construeren, die worden gegarandeerd door de dekpuntstelling van Brouwer, zijn nu echter bekend (zie bijvoorbeeld Karamadian (1977) en Istrățescu (1981)).