Delen door nul

Delen door nul is een rekenkundige bewerking die niet toegestaan is in de wiskunde. Het gaat om een deling waarvan de deler het getal nul is. De bewerking is niet geoorloofd, omdat de inverse van het getal 0 niet bestaat als reëel getal of complex getal. Bij het gewone rekenen kan daarom geen zinnige betekenis gegeven worden aan het resultaat van een deling door nul.

In de wiskunde is het in bepaalde gevallen met limieten of andere getalstelsels mogelijk een zinvolle betekenis aan deling door nul te geven.

Een ezelsbruggetje om te onthouden dat de bewerking niet mag is "delen door nul is flauwekul" of "delen door nul is gelul".

Rekenkunde

Bij het gewone rekenen kan de deling a : 0, waarbij a een gewoon getal is, niet uitgerekend worden. De uitkomst is in feite onbepaald. Dit is eenvoudig in te zien. Stel namelijk dat het getal b het resultaat is van de deling, dus a : 0 = b, dan moet 0×b = a, terwijl het vermenigvuldigen van een getal met 0 altijd 0 als resultaat geeft.

Wanneer door een zeer klein getal gedeeld wordt, zal, afhankelijk van het teken van het deeltal en de deler, de uitkomst een zeer groot positief getal, of een zeer groot negatief getal opleveren. Daaruit kan men zien dat een dergelijk resultaat onbepaald is.

Algebraïsche interpretatie

Ook in de wiskunde laten de normale rekenkundige regels voor rationale getallen, reële getallen en complexe getallen deling door 0 niet toe. De reden ligt in de definitie van de deling als de inverse bewerking van de vermenigvuldiging. Dit betekent dat a/b geïnterpreteerd wordt als $a$ $\cdot$ $b^{-1}$, waarin $b^{-1}$ bepaald is door de relatie:

$b\cdot b^{-1} = 1\,.$

Duidelijk is dat voor b = 0, geen enkel getal $b^{-1}$ aan de relatie kan voldoen, zodat $0^{-1}$ niet gedefinieerd is.

Voor alle andere getallen b uit de getallenverzamelingen die hierboven vermeld zijn, bestaat de inverse $b^{-1}$ wel en is de uitdrukking a/b gedefinieerd.

Foutieve redenering

Voor elk reëel getal x geldt:

$x^2 - x^2 = x^2 - x^2 \quad$

Beide leden splitsen in factoren, op een verschillende manier:

$(x - x)(x + x) = x(x - x)\quad$

Beide leden delen door x − x:

$x + x = x \quad$

Anders geschreven

$2x = x \quad$

delen door x

$2 = 1 \quad$

De denkfout is de veronderstelling dat de deling door x − x = 0 gedefinieerd is.

Wanneer men in de praktijk tijdens een algebraïsche afleiding deelt door een term, moet men ofwel expliciet aannemen dat de term niet gelijk is aan nul, ofwel een apart bewijs geven dat de term nooit nul kan worden.

Abstracte algebra

Gelijkaardige uiteenzettingen gelden ook in meer algemene algebraïsche structuren, zoals ringen of lichamen. In een lichaam (in België: veld), heeft elk niet-nul element een inverse voor de vermenigvuldiging. Dus net als hierboven, treden problemen alleen op wanneer men probeert te delen door nul. In andere ringen echter, kan ook deling door een niet-nul element problemen opleveren.

Limieten en deling door nul

Voorstelling van een limiet naar oneindig

Op het eerste gezicht lijkt het een goed idee om ${a \over 0}$ te definiëren als de limiet van ${a \over b}$ voor b gaat naar 0. Voor elke a groter dan nul, geldt dat

$\lim_{b\downarrow 0} {a \over b} = {+}\infty$

en

$\lim_{b\uparrow 0} {a \over b} = {-}\infty$

Daaruit blijkt dat de gezochte limiet niet bestaat, en het oorspronkelijke idee niet uitvoerbaar.

Limieten van de vorm

$\lim_{x \to 0} {f(x) \over g(x)}$

waarin zowel f(x) als g(x) naar nul gaan als x naar nul gaat, kunnen naar gelijk welke waarde convergeren, of helemaal niet convergeren. Zie de Regel van L'Hôpital voor een bespreking en voorbeelden van limieten van breuken.

Functionaalanalyse

In de functionaalanalyse kan de functie

${1 \over x}$

uitgebreid worden tot een distributie over de gehele ruimte van reële getallen (door gebruik te maken van Cauchy principal values). Het geeft echter geen zin om de 'waarde' van deze distributie te bepalen voor $x = 0$; een gesofisticeerd antwoord verwijst naar de singuliere drager van deze distributie.

Andere getallenstelsels

Hoewel delen door nul onbepaald is voor reële en gehele getallen, is het mogelijk om deling door nul consistent te definiëren in andere wiskundige structuren, bijvoorbeeld op de Riemann-sfeer (zie ook polen in de complexe analyse). Bij berekeningen met hyperreële getallen en surreële getallen is deling door niet-nul infinitesimalen mogelijk. Als een getallenverzameling een commutatieve ring vormt, zoals die van de gehele getallen, de reële getallen en de complexe getallen, kan die uitgebreid worden tot een wiel (wiskunde) waarin deling door nul altijd mogelijk is, maar in dat geval heeft de deling een iets andere betekenis.

Computers

De IEEE 754-standaard specifieert dat elke rekenkundige bewerking met zwevendekommagetallen, inclusief deling door nul, een welbepaald resultaat moet hebben. Volgens die regels is a/0 positief oneindig als a positief is, negatief oneindig als a negatief is, en NaN ("not a number") als a = 0. Deze definities zijn afgeleid van de eigenschappen van de limieten die hierboven besproken werden. Tegenwoordig is de IEEE 754 de meest gebruikte specificatie; deze wordt door onder andere Intelprocessors gebruikt.

Delingen met gehele getallen kunnen op een andere manier verwerkt worden dan met zwevende komma. Intelprocessors genereren een interrupt wanneer een poging wordt gedaan tot deling door nul. Het gebruikelijke resultaat is dat het programma afbreekt op de plaats waar dit gebeurde. Om er dus voor te zorgen dat elke bewerking een eindig numeriek resultaat (zwevende komma) teruggeeft, en een interrupt vermeden wordt, kan een computer weigeren om een deling uit te voeren als de deler nul is.

Mediabestanden

Zie de categorie 0 (number) van Wikimedia Commons voor meer mediabestanden.