Delingsalgebra

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de abstracte algebra is een delingsalgebra een algebra over een lichaam waarin deling mogelijk is.

Definities[bewerken]

Formeel beginnen we met een algebra D over een lichaam (benaming in België: veld) wij nemen aan dat D uit meer bestaat dan alleen zijn eigen nul element. Wij noemen D een delingsalgebra als er voor elk willekeurig element a in D en elk willekeurig niet-nulzijnd element b in D er precies één element x in D bestaat met a = bx en precies één element y in D zodat a = yb.

Voor associatieve algebra's, kunnen de definities als volgt worden versimpeld: een associatieve algebra over een lichaam is een delingsgalgebra dan en slechts dan als het een multiplicatief identiteits element 1≠0 heeft en elk niet-nulzijnd element a een multiplicatieve inverse (dat wil zeggen een element x met ax = xa = 1) heeft.

Associatieve delingsalgebra's[bewerken]

De meest bekende voorbeelden van associatieve delingsalgebra's zijn de eindig-dimensionale reële delingsalgebra's (dat zijn algebra's over het lichaam R van de reële getallen, die eindig-dimensionaal zijn als een vectorruimte over de reële getallen). De stelling van Frobenius stelt dat er up to isomorfisme drie van zulke algebra's bestaan: de reële getallen zelf (dimensie 1), het lichaam van de complexe getallen (dimensie 2) en de quaternionen (dimensie 4).

De kleine stelling van Wedderburn stelt dat als D een eindige delingsalgebra is, dat dan D een eindig lichaam is. (T. Y. Lam, A First Course in Noncommutative Rings (Een eerste cursus in niet-commutatieve ringen))

Over een algebraïsch gesloten lichaam K (bijvoorbeeld de complexe getallen C) zijn er geen eindig-dimensionale associatieve divisiealgebra's, behalve natuurlijk K zelf.

Associatieve delingsalgebra's hebben geen nuldelers. Een eindig-dimensionale unitaire associatieve algebra (over elk willekeurig lichaam) is een delingsalgebra dan en slechts dan als wanneer deze delingsalgebra's geen nuldelers heeft.

Wanneer A een associatieve unitaire algebra over het lichaam F en S een simpele module over A is, dan is de endomorfismering van S een delingsalgebra over F; elke associatieve delingsalgebra over F treedt op deze manier op.

Het centrum van een associatieve delingsalgebra D over het lichaam K is een lichaam dat K bevat. De dimensie van zo'n algebra over zijn centrum is een perfect kwadraat (tenminste als dit centrum eindig is): het is gelijk aan het kwadraat van de dimensie van een maximaal deellichaam van D over het centrum. Gegeven een lichaam F, kunnen de (isomorfisme klassen) van associatieve delingsalgebra's, waarvan het centrum F is en die eindig-dimensionaal zijn over F, in een groep worden omgezet, de Brauer-groep van de lichaam F.

Een manier om eindig-dimensionale associatieve delingsalgebra's over willekeurige lichamen te construeren wordt gegeven door de quaternion algebra's (zie ook quaternionen).

Voor eindig-dimensionale associatieve delingsalgebra's zijn de belangrijkste gevallen die waar de ruimte een redelijke topologie heeft. Beschouw bijvoorbeeld de genormeerde delingsalgebra's en Banach-algebra's.

Zie ook[bewerken]