Delingsalgebra
In de abstracte algebra is een delingsalgebra een algebra over een veld waarin deling mogelijk is.
Definities [bewerken]
Formeel beginnen we met een algebra D over een veld, wij nemen aan dat D uit meer bestaat dan alleen zijn eigen nul element. Wij noemen D een delingsalgebra als er voor elk willekeurig element a in D en elk willekeurig niet-nulzijnd element b in D er precies één element x in D bestaat met a = bx en precies één element y in D zodat a = yb.
Voor associatieve algebra's, kunnen de definities als volgt worden versimpeld: een associatieve algebra over een veld is een delingsgalgebra dan en slechts dan als het een multiplicatief identiteits element 1≠0 heeft en elk niet-nulzijnd element a een multiplicatieve inverse (dat wil zeggen een element x met ax = xa = 1) heeft.
Associatieve delingsalgebra's [bewerken]
De meest bekende voorbeelden van associatieve delingsalgebra's zijn de eindig-dimensionale reële delingsalgebra's (dat zijn algebra's over het veld R van de reële getallen, die eindig-dimensionaal zijn als een vectorruimte over de reële getallen). De stelling van Frobenius stelt dat er up to isomorfisme drie van zulke algebra's bestaan: de reële getallen zelf (dimensie 1), het veld van de complexe getallen (dimensie 2) en de quaternionen (dimensie 4).
De kleine stelling van Wedderburn stelt dat als D een eindige delingsalgebra is, dat dan D een eindig veld is. (T. Y. Lam, A First Course in Noncommutative Rings (Een eerste cursus in niet-commutatieve ringen))
Over een algebraïsch gesloten veld K (bijvoorbeeld de complexe getallen C) zijn er geen eindig-dimensionale associatieve divisiealgebra's, behalve natuurlijk K zelf.
Associatieve delingsalgebra's hebben geen nuldelers. Een eindig-dimensionale unitaire associatieve algebra (over elk willekeurig veld) is een delingsalgebra dan en slechts dan als wanneer deze delingsalgebra's geen nuldelers heeft.
Wanneer A een associatieve unitaire algebra over het veld F en S een simpele module over A' is', dan is de endomorfismering van S een delingsalgebra over F; elke associatieve delingsalgebra over F treedt op deze manier op.
Het centrum van een associatieve delingsalgebra D over het veld K is een veld dat K bevat. De dimensie van zo'n algebra over zijn centrum is een perfect kwadraat (tenminste als dit centrum eindig is): het is gelijk aan het kwadraat van de dimensie van een maximaal subveld van D over het centrum. Gegeven een veld F, kunnen de (isomorfisme klassen) van associatieve delingsalgebra's, waarvan het centrum F is en die eindig-dimensionaal zijn over F, kunnen in een groep worden omgezet, de Brauer-groep van de veld F.
Een manier om eindig-dimensionale associatieve delingsalgebra's over willekeurige velden te construeren wordt gegeven door de quaternion algebra's (zie ook quaternionen).
Voor eindig-dimensionale associatieve delingsalgebra's zijn de belangrijkste gevallen die waar de ruimte een redelijke topologie heeft. Beschouw bijvoorbeeld de genormeerde delingsalgebra's en Banach-algebra's.
