Diagonaal gedomineerde matrix

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de lineaire algebra, een deelgebied van de wiskunde, wordt van een matrix gezegd dat deze diagonaal dominant is, als in elke rij van deze matrix, de waarde van het diagonale element in die rij groter is dan de som van de waardes van alle andere (niet-diagonale) elementen in die rij. Meer bepaald is de matrix A diagonaal dominant als

|a_{ii}| > \sum_{j\neq i} |a_{ij}| \quad\text{voor alle } i, \,

waar aij het element in de i-de rij en de j-de kolom aangeeft.

Variaties[bewerken]

De definitie in de bovenstaande paragraaf telt elementen over rijen op. Dit wordt daarom ook wel rijdiagonale dominantie genoemd. Bij optellen over kolommen spreek ment kolomdiagonale dominantie genoemd.

De bovenstaande definitie maakt gebruik van een strikte ongelijkheid en wordt daarom soms strikte diagonale dominantie genoemd. Als men gebruik maakt van een zwakke ongelijkheid (\geq), spreekt men van zwakke diagonale dominantie. De ongekwalificeerde term diagonaal dominant kan, afhankelijk van de context, zowel strikte- als zwakke diagonale dominantie inhouden.[1]

Als een irreducibele matrix zwak diagonaal dominant is, maar tenminste in één rij (of kolom) strikt diagonaal dominant is, dan is deze matrix irreducibel diagonaal dominant.

Toepassingen en eigenschappen[bewerken]

Met behulp van de Gershgorin-cirkel stelling is een strikte (of irreducibele) diagonaal dominante matrix altijd inverteerbaar. Dit resultaat staat bekend als de stelling van Levy-Desplanques.[2]

Een hermitisch diagonaal dominante matrix met reëelwaardige niet-negatief diagonale elementen is positief semi-definiet. Als de symmetrie-eis wordt geëlimineerd, is zo'n matrix niet noodzakelijkerwijs positief semi-definitiet, maar zijn de reële delen van zijn eigenwaarden echter wel niet-negatief.

Bij het uitvoeren van Gauss-eliminatie (LU factorisatie) is bij een strikt kolomdiagonaal dominante matrix geen (gedeeltelijke) "pivotering" nodig.

De methoden van Jacobi en de Gauss-Seidel om een stelsel van lineaire vergelijkingen op te lossen convergeren wanneer het strikte (of irreducibel) diagonaal dominante matrix betreft.

Veel matrices die voorkomen bij eindige-elementenmethoden zijn diagonaal dominant.

Externe links[bewerken]

Voetnoten[bewerken]

  1. Zie bijvoorbeeld Horn en Johnson (1985, blz. 349) die de term gebruiken om zwakke diagonale dominantie aan te geven.
  2. Horn en Johnson, Thm 6.1.10. Dit resultaat is onafhankelijk tientallen malen herontdekt. Een paar opmerkelijke herontdekkingen zijn Lévy (1881), Desplanques (1886), Minkowski (1900), Hadamard (1903), Schur, Markov (1908), Rohrbach (1931), Gershgorin (1931), Artin (1932), Ostrowski (1937) en Furtwängler (1936). Voor een geschiedenis van deze steeds "terugkerende stelling", zie: Taussky, Olga (1949). A recurring theorem on determinants (Een steeds terugkerende stelling over determinanten). American Mathematical Monthly 56: 672–676 .. Een andere nuttige geschiedenis is in: Schneider, Hans (1977). Olga Taussky-Todd's influence on matrix theory and matrix theorists. Linear and Multilinear Algebra 5 (3): 197–224 .

Referenties[bewerken]

  • (en) Gene H. Golub & Charles F. Van Loan. Matrix Computations (Matrix berekeningen), 1996. ISBN 0-8018-5414-8
  • (en) Roger A. Horn & Charles R. Johnson. Matrix Analysis (Matrix analyse), Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-38632-2 (paperback).