Diagonaalmatrix

In de lineaire algebra is een diagonaalmatrix een vierkante n×n-matrix, waarvan alle elementen buiten de hoofddiagonaal (↘) gelijk zijn aan nul. De diagonale elementen kunnen al of niet gelijk zijn aan nul.

De matrix D = (d_i,j) met n kolommen en rijen is diagonaal als:

$d_{i,j} = 0 \mbox{ als } i \ne j \qquad \forall i,j \in \{1, 2, \ldots, n\}$

Diagonaalmatrices worden volledig bepaald door de waarden van de elementen op de hoofddiagonaal. Een gebruikelijke schrijfwijze is

$D = {\rm diag} (d_1, d_2, \dots, d_n) = \begin{pmatrix} d_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & d_2 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & d_n \end{pmatrix}\!$.

De som van de elementen op de hoofdmatrix wordt spoor (symbool: S) genoemd en wordt bijgevolg gedefinieerd als:

$S = \sum^n_{i=1} d_i = d_1 + d_2 + \cdots + d_n$

Voorbeeld

De volgende matrix is een diagonaalmatrix:

$\begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1/3 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1/2 \\ \end{bmatrix}$.

Men noteert de hoofddiagonaal ook wel als volgt : diag ( 3 ; 1/3 ; -1 ; 1/2 )

Merk op dat de inverse en de macht van een diagonaalmatrix eenvoudig te bepalen zijn: gewoon de diagonaalelementen resp. tot de macht -1 en n nemen.

De inverse van de matrix hierboven is dan:

$\begin{bmatrix} 1/3 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ \end{bmatrix}$,

en de n-de macht:

$\begin{bmatrix} 3^n & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1/3^n & 0 & 0\\ 0 & 0 & (-1)^n & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1/2^n \\ \end{bmatrix}$.

De determinant van een dergelijke matrix is te bepalen door alle factoren in de diagonaal met elkaar te vermenigvuldigen. De determinant van de eerder genoemde matrix is dan:

$3\times \tfrac 13 \times (-1)\times \tfrac 12 = -\tfrac 12$.