Diagonaliseerbare matrix
Diagonaliseerbaar is een begrip uit de lineaire algebra. Men noemt een vierkante matrix A diagonaliseerbaar als er een inverteerbare matrix P en een diagonaalmatrix D bestaan zodat
.
.Deze eigenschap is equivalent met zeggen dat deze matrix een basis van eigenvectoren heeft.
Dit is steeds het geval indien de matrix symmetrisch is. In dat geval kan zelfs een orthonormale basis van eigenvectoren gevonden worden, en kan men een diagonaliserende matrix P vinden die niet enkel inverteerbaar is, maar zelfs orthogonaal. In dat geval wordt de relatie dus:
.
.Voor een niet-symmetrische matrix is diagonalisatie steeds mogelijk indien geen ontaarding van de eigenruimten optreedt. Dit betekent dat voor elke eigenruimte de dimensie moet gelijk zijn aan de multipliciteit van de eigenwaarde. Als alle eigenwaarden enkelvoudig zijn is dit automatisch voldaan en kan de matrix gediagonaliseerd worden. Bij meervoudige eigenwaarden kan het dus zijn dat A diagonaliseerbaar is of niet.
| Eigenschap | Algemene reële matrix | Symmetrische reële matrix |
|---|---|---|
| Diagonaliseerbaar? | Niet altijd | Altijd |
| Door middel van | Reguliere matrix | Orthogonale matrix |
| Eigenwaarden | Kunnen complex zijn | Steeds reëel |
| Eigenvectoren van verschillende eigenwaarde | Lineair onafhankelijk | Orthogonaal |
| Ontaarding | Mogelijk | Niet mogelijk |
Concreet bevat P als kolommen de componenten van de eigenvectoren, en de diagonaalvorm D op de diagonaal de eigenwaarden. Hierbij moet in P en D dezelfde volgorde van eigenvectoren en eigenwaarden worden aangehouden. Op plaats D[k,k] moet dus een eigenwaarde staan die eigenwaarde is van de eigenvector die zich in kolom k van P bevindt.
Doordat men de nummering van eigenvectoren en bijhorende eigenwaarden vrij kan kiezen zijn er dus meerdere oplossingen voor P en D makkelijk te vinden door in beide matrices op dezelfde manier de volgorde van de kolommen te herschikken.
