Dichte verzameling
Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
In de topologie en aanverwante deelgebieden binnen de wiskunde wordt een deelverzameling A van een topologische ruimte X dicht genoemd als, intuïtief gesproken, enig punt in X "goed-benaderd" kan worden door punten in A. Formeel gesproken is A dicht in X, indien voor enig punt x in X, enige omgeving van x ten minste één punt uit A bevat.
Gelijkwaardig A is dicht in X als de enige gesloten deelverzameling van X, die A bevat, X zelf is. Dit kan ook worden uitgedrukt door te zeggen dat de afsluiting van A gelijk is aan X, of dat het inwendige van het complement van A leeg is.
[bewerken] Dichtheid in metrische ruimtes
Een alternatieve definitie van een dichte verzameling in het geval van metrische ruimten is de volgende:
De verzameling A in een metrische ruimte X is dicht als elke x in X een limiet van een rij van elementen in A is. Immers, wanneer de topologie van X wordt gegeven door een metriek is de afsluiting 
van A in X de vereniging van A en de verzameling van alle limieten van rijen van elementen in A (haar ophopingspunten),
Dan is A dicht in X als
Als {Un} een reeks van dichte open verzamelingen is in een complete metrische ruimte, X, dan is 
ook dicht in X. Dit feit is een van de equivalente vormen van de categoriestelling van Baire.
[bewerken] Voorbeelden
- Elke topologische ruimte is dicht in zichzelf.
- De reële getallen met de gebruikelijke topologie hebben de rationele getallen en de irrationale getallen als dichte deelverzamelingen.
- Een metrische ruimte M is dicht in haar vervollediging γM.
[bewerken] Zie ook
- Geïsoleerd punt
- Scheidbare ruimte, een ruimte met een aftelbare dichte deelverzameling
