Dichtheidsstelling van Lebesgue

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

In de maattheorie, een deelgebied van de wiskunde, stelt de dichtsheidsstelling van Lebesgue dat voor iedere lebesgue-meetbare verzameling de 'dichtheid' van in bijna elk punt van gelijk is aan 1. Aangezien van een punt van de rand van elke omgeving gedeeltelijk in en gedeeltelijk buiten ligt, is de dichtheid van daar kleiner dan 1. De stelling betekent dus intuïtief dat de rand van kan worden verwaarloosd. De stelling is genoemd naar de Franse wiskundige Henri Lebesgue.

Definitie[bewerken | brontekst bewerken]

Laat de lebesgue-maat op de euclidische ruimte en een lebesgue-meetbare deelverzameling van zijn. Definieer de 'dichtheid bij benadering' van in een -omgeving van een punt als

waarin de bol aanduidt met straal en middelpunt .

Stelling[bewerken | brontekst bewerken]

De dichtheidsstelling van Lebesgue houdt in dat in bijna ieder punt van een lebesgue-meetbare verzameling de dichtheid van :

bestaat en gelijk is aan 1.

Met andere woorden: voor elke lebesgue-meetbare verzameling is de dichtheid van bijna overal in gelijk aan 0 of 1. Wel is het zo dat als en , er altijd punten van zijn waarin de dichtheid van noch 0, noch 1 is.

Gegeven een vierkant in het vlak is de dichtheid van elk punt binnen dit vierkant bijvoorbeeld gelijk aan 1, op de randen is de dichtheid gelijk aan 1/2, en in de hoekpunten is de dichtheid gelijk aan 1/4. Er zijn dus punten in het vlak waar de dichtheid noch 0, noch 1 is, maar hun aantal kan worden verwaarloosd.

Literatuur[bewerken | brontekst bewerken]