Dichtheidsstelling van Lebesgue

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de maattheorie, een deelgebied van de wiskunde, stelt de dichtsheidsstelling van Lebesgue dat voor enige Lebesgue-meetbare verzameling A, de "dichtheid" van A gelijk is aan 1 op bijna elk punt in A. Intuïtief betekent dit dat de rand van A, de verzameling punten in A, waarvan de omgeving gedeeltelijk in A en gedeeltelijk buiten A liggen, verwaarloosbaar is. De stelling is genoemd naar de Franse wiskundige, Henri Lebesgue.

Definitie[bewerken]

Laat μ de Lebesgue-maat op de Euclidische ruimte Rn en A een Lebesgue-meetbare deelverzameling van Rn zijn. Definieer de dichtheid bij benadering van A in een ε-omgeving van een punt x in Rn als

 d_\varepsilon(x)=\frac{\mu(A\cap B_\varepsilon(x))}{\mu(B_\varepsilon(x))}

waar Bε de gesloten bal aanduidt van straal ε, gecentreerd op x.

De dichtheidsstelling van Lebesgue houdt in dat voor bijna elk punt van A de dichtheid

 d(x)=\lim_{\varepsilon\to 0} d_{\varepsilon}(x)

bestaat en gelijk is aan 1.

In andere woorden, voor elke meetbare verzameling, A, is de dichtheid van A bijna overal in Rn gelijk aan 0 of 1. Het is echter een opmerkelijk feit dat als μ(A) > 0 en μ(Rn\A) > 0, er dan altijd punten van Rn bestaan waar de dichtheid noch 0 noch 1 is.

Gegeven een vierkant in het vlak is de dichtheid van elk punt binnen dit vierkant bijvoorbeeld gelijk aan 1, op de randen is de dichtheid gelijk aan 1/2, en in de hoekpunten is de dichtheid gelijk aan 1/4. De verzameling van de punten in het vlak waar de dichtheid noch 0, noch 1 is dus niet-leeg (de randen van het vierkant), maar de verzameling is verwaarloosbaar.

Referenties[bewerken]