Differentiaalrekening

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
De grafiek van een functie (zwarte lijn) en een raaklijn op deze functie (rode lijn). De helling van de raaklijn is op het gemarkeerde punt gelijk aan de afgeleide van deze functie.

In de analyse, een deelgebied van de wiskunde, houdt differentiaalrekening zich bezig met de studie hoe functies veranderen, wanneer er in hun argumenten oneindig kleine (infinitesimale) veranderingen optreden.

Het primaire object van studie in de differentiaalrekening is de 'afgeleide'. Een nauw hier aan verwant begrip is de differentiaal. De afgeleide van een functie bij een gegeven inputwaarde beschrijft het gedrag van deze functie in de buurt van die inputwaarde. Voor een reëelwaardige functie van een enkele reële variabele is de afgeleide op een punt gelijk aan de helling van de raaklijn aan de grafiek van de functie op dat punt. In het algemeen bepaalt de afgeleide van een functie op een punt de beste lineaire benadering voor de functie op dat punt.

Het proces van het vinden van een afgeleide wordt differentiatie genoemd. De hoofdstelling van de integraalrekening stelt dat differentiatie het omgekeerde proces is van integratie.

Differentiatie kent toepassingen in bijna alle kwantitatieve disciplines. In de natuurkunde is de afgeleide van de verplaatsing van een bewegend lichaam met betrekking tot de tijd de snelheid van dit lichaam, en de afgeleide van de snelheid met betrekking tot tijd is de acceleratie. De tweede wet van Newton stelt dat de afgeleide van de impuls van een lichaam gelijk is aan de kracht, die op dit lichaam wordt uitgeoefend. De reactiesnelheid van een chemische reactie is een afgeleide. In de operationele research bepalen afgeleiden de efficiëntste manieren om materialen te transporteren en fabrieken te ontwerpen. Door de toepassing van speltheorie kan men met behulp van differentiaalrekening de beste strategie voor concurrerende bedrijven berekenen.

Afgeleiden worden vaak gebruikt om de maxima en minima van een functie te vinden. Vergelijkingen waarin afgeleiden zijn opgenomen worden differentiaalvergelijkingen genoemd. Differentiaalvergelijkingen zijn van fundamenteel belang in het beschrijven van natuurlijke fenomenen. Afgeleiden en hun veralgemeningen komen voor in vele deelgebieden van de wiskunde, zoals de complexe analyse, de functionaalanalyse, de differentiaalmeetkunde, de maattheorie en de abstracte algebra.

De afgeleide[bewerken]

1rightarrow blue.svg Zie Afgeleide voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Stel dat x en y reële getallen zijn en dat y een functie van x is, dat wil zeggen dat men voor elke waarde van x een bijbehorende waarde van y kan bepalen. Deze relatie wordt geschreven als: y = f(x), waar f( x) de vergelijking voor een rechte lijn, y = m x + b is, waar m en b reële getallen zijn, die de plaats van de lijn in Cartesiaanse coördinaten bepalen. m wordt de helling genoemd en wordt gegeven door:

m={\mbox{verandering in } y \over \mbox{verandering in } x} = {\Delta y \over{\Delta x}},

waar het symbool Δ (de hoofdlettervorm van de Griekse letter Delta) een afkorting is voor "verandering in". Hieruit volgt dat Δy= m Δ x.

In lineaire functies is de afgeleide van f op het punt x de best mogelijke benadering van de notie van de helling van f op het punt x . Het wordt meestal aangeduid door f'(x) van dy/dx. Samen met de waarde van f op x, bepaalt de afgeleide van f de beste lineaire benadering, of linearisatie van f in de buurt van het punt x. Deze laatste eigenschap wordt meestal als de definitie van de afgeleide genomen. Afgeleiden kunnen niet worden berekend voor niet-lineaire functies, dit omdat niet-lineaire functies geen goed gedefinieerde "helling" hebben.

Een nauw verwant begrip is de differentiaal van een functie.

Geschiedenis van de differentiaalrekening[bewerken]

1rightarrow blue.svg Zie Geschiedenis van de analyse (wiskunde) voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Het concept van een afgeleide in de zin van een raaklijn is een heel oud idee, waarmee ook Oud-Griekse meetkundigen als Euclides (ca. 300 v.Chr.), Archimedes (ca. 287-212 v.Chr) en Apollonius van Perga (ca. 262-190 v.Chr.) al vertrouwd waren.[1] Archimedes introduceerde ook het gebruik van infinitesimalen, hoewel deze hoofdzakelijk werden gebruikt in de studie van oppervlakten en volumes en niet in de studie van afgeleiden en raaklijken.

Het gebruik van infinitesimalen om de mate van verandering te bestuderen vindt men al zo vroeg als 500 n.Chr. terug in de Indiase wiskunde, toen de astronoom en wiskundige Aryabhata (476-550) infinitesimalen gebruikte bij zijn studie naar de baan van de maan.[2] Het gebruik van infinitesimalen om de mate van verandering te berekenen werd in belangrijke mate door Bhāskara II (1114-1185) ontwikkeld; er wordt inderdaad aangevoerd[3] dat veel van de belangrijkste begrippen van de differentiaalrekening, zoals de "stelling van Rolle", terug kunnen worden gevonden in zijn werk.[4]

De Perzische wiskundige Sharaf al-Din al-Toesi (1135-1213) was de eerste die de afgeleide van een kubieke veelterm ontdekte, een belangrijke mijlpaal in de differentiaalrekening;[5] in zijn Treatise on Equations (verhandeling over vergelijkingen) ontwikkelde hij concepten die aan de differentiaalrekening gerelateerd waren, zoals de afgeleide functie en maxima en minima van krommen, dit om derdegraadsvergelijkingen, die geen positieve oplossingen hadden, op te kunnen lossen.[6] Een vroege versie van de middelwaardestelling werd in zijn commentaar op Bhāskara II[7] voor het eerst beschreven door Parameshvara (1370-1460), een lid van de Kerala school voor astronomie en wiskunde.

De moderne ontwikkeling van de analyse wordt gewoonlijk toegeschreven aan Isaac Newton (1643-1727) en Gottfried Leibniz (1646-1716), die onafhankelijk van Newton[8] voorzag in een geüniformeerde aanpak van differentiatie en afgeleiden.

Het sleutelinzicht dat Leibniz dit krediet opleverde was de zogenaamde hoofdstelling van de integraalrekening, die differentiatie en integratie met elkaar verbindt: deze hoofdstelling maakte de meeste hieraan voorafgaande methoden voor het berekenen van oppervlakten en volumes op slag overbodig.[9] Deze methoden waren sinds de tijd van Ibn al-Haytham (Alhazen)[10] in hoofdlijnen onveranderd gebleven. Voor hun ideeën over afgeleiden bouwden zowel Newton en Leibniz voort op belangrijk eerder werk door wiskundigen zoals Isaac Barrow (1630-1677), René Descartes (1596-1650), Christiaan Huygens (1629-1695), Blaise Pascal (1623-1662) en John Wallis (1616/03). In het bijzonder Isaac Barrow wordt vaak gecrediteerd met de vroege ontwikkeling van het "afgeleide" begrip.[11] Niettemin blijven Newton en Leibniz de sleutelfiguren in de geschiedenis van de differentiaalrekening, niet in het minst omdat Newton de eerste was die de differentiaalrekening toepaste op de theoretische natuurkunde, terwijl Leibniz op systematische wijze een groot deel van de wiskundige notatie voor de differentiaalrekening ontwikkelde, die ook heden ten dage nog steeds in gebruik is.

Sinds de 17e eeuw hebben vele wiskundigen bijgedragen aan de theorie van differentiaalrekening. In de 19e eeuw werd de analyse op een vastere leest geschoeid door wiskundigen als Augustin Louis Cauchy (1789-1857), Bernhard Riemann (1826-1866), en Karl Weierstrass (1815-1897). Het was ook tijdens deze periode dat de differentiaalrekening naar de euclidische ruimte en het complexe vlak werd uitgebreid.

Eenvoudige uitleg[bewerken]

Het principe van de differentiaalrekening laat zich het eenvoudigste uitleggen aan de hand van een voorbeeld:

De snelheid van een beweging is de weg die in een bepaalde tijd wordt afgelegd gedeeld door die tijd: wie in een uur honderd kilometer aflegt, rijdt honderd kilometer per uur... althans gemiddeld. Maar hoe komen wij nu de snelheid te weten als die varieert? Om de snelheid op één bepaald moment te weten te komen moet de afstand worden bepaald die in zeer korte tijd wordt afgelegd. Dat levert een breuk op met een heel kleine noemer en een heel kleine teller, waarbij de verhouding (het quotiënt) in de regel niet heel klein is. Wie 28/100 000 meter in 0,001 seconde aflegt, rijdt nog steeds 100 km/u.

In de differentiaalrekening wordt vervolgens een limietovergang toegepast door het tijdinterval naar nul te laten naderen. In een experiment kan het tijdsinterval niet willekeurig klein worden gekozen: daar zijn technische grenzen aan. Wanneer de afgelegde weg echter als een wiskundige functie van de tijd wordt geschreven, dan is dat wel mogelijk: de afgeleide geeft het differentiaalquotiënt, in dit geval van tijd en afstand en kan eenduidig worden bepaald.

Grafische weergave[bewerken]

Grafisch is het differentiaalquotiënt voor te stellen als de helling van een kromme in een bepaald punt. Meetkundig is die helling voor te stellen als de helling van een raaklijn – en een raaklijn is een lijn die denkbeeldig geconstrueerd kan worden door een lijn door twee punten op die kromme te trekken en de afstand tussen die twee punten tot nul te laten naderen.

Toepassingen[bewerken]

Het belang van de differentiaalrekening is vooral dat natuurkundige verschijnselen waarbij natuurkundige grootheden continu variëren in onderlinge afhankelijkheid, dus bijna overal, zich laten beschrijven door differentiaalvergelijkingen. Een elementaire toepassing is het bepalen waar een wiskundige functie extreme waarden bereikt, want daar loopt de raaklijn horizontaal en is het differentiaalquotiënt dus nul. Van een functie met meer dan een onafhankelijke variabele kunnen ook zadelpunten worden bepaald.

Middelwaardestelling[bewerken]

1rightarrow blue.svg Zie middelwaardestelling voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

De middelwaardestelling geeft een relatie tussen de waarden van de afgeleide en waarden van de oorspronkelijke functie. Als f(x) een reëel-waardige functie is en a en b getallen zijn, waarvoor geldt dat a < b, dan zegt de middelwaardestelling dat onder milde hypothesen, de helling tussen twee punten (a, f(a)) en (b, f(b)) gelijk is aan de helling van de raaklijn op f op enig punt c tussen a en b. Met andere woorden,

f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.

In de praktijk controleert de middeldewaardestelling een functie in termen van haar afgeleide. Veronderstel bijvoorbeeld dat f een afgeleide heeft die op ieder punt gelijk is aan nul. Dit betekent dat de raaklijn op elk punt horizontaal is, zodat de functie zelf ook horizontaal dient te zijn. De middeldewaardestelling bewijst dat dit inderdaad het geval is: De helling tussen twee willekeurige punten op de grafiek van f moet gelijk zijn aan de helling van een van de raaklijnen op f. Aangezien al deze hellingen nul zijn, zal elke lijn van een willekeurig punt op de grafiek naar een ander punt ook helling nul hebben. Maar dat houdt in dat de functie noch naar boven noch naar beneden beweegt, dus moet het wel een horizontale lijn zijn. Meer ingewikkelde voorwaarden op de afgeleide leiden tot minder nauwkeurige maar nog steeds uiterst nuttige informatie over de oorspronkelijke functie.

Impliciete functiestelling[bewerken]

1rightarrow blue.svg Zie Impliciete functiestelling voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Sommige natuurlijke meetkundige vormen, zoals cirkels, kunnen niet worden getekend als grafiek van een functie. Als bijvoorbeeld F(x, y) = x² + y² - 1, dan is de cirkel de verzameling van alle paren (x, y) zodanig dat F(x, y) = 0. Deze verzameling wordt de nulverzameling van F genoemd. Dat is niet hetzelfde als de grafiek of F, wat een kegel is. De impliciete functiestelling converteert relaties zoals F(x, y) = 0 in functies. De impliciete functiestelling beweert dat als F continu differentieerbaar is, dat dan rondom de meeste punten, de nulverzameling van F eruit ziet als aan elkaar geplakte functies. De punten waar dit niet het geval is worden bepaald door een aan de afgeleide opgelegde conditie F. De cirkel kan bijvoorbeeld aan elkaar worden geplakt uit de grafieken van de twee functies \pm\sqrt (1-x^2). In een omgeving van elk punt op de cirkel met uitzondering van (-1, 0) en (1, 0), heeft een van deze twee functies een grafiek die op de cirkel lijkt. (Deze twee functies gaan toevallig ook door de punten (-1, 0) en (1, 0), hoewel dit echter niet door de impliciete functiestelling wordt gegarandeerd.)

De impliciete functiestelling is nauw verwant aan de inverse functiestelling, die stelt wanneer een functie er uitziet als grafieken van aan elkaar geplakte inverteerbare functies.

Differentiaaloperatoren[bewerken]

Voor scalaire en vectoriële functies zijn allerlei differentiaaloperatoren ontwikkeld: de del of nabla die, op een scalar toegepast, een gradiënt oplevert en op een vector toegepast, een rotatie of een divergentie kan zijn. Dit soort geavanceerde differentiaaloperatoren spelen een enorme rol in de mechanica, elektromagnetisme en stromingsleer. Voorts zijn er de Laplace-operator, de Hessiaan en de Jacobiaan.

Infinitesimaalrekening[bewerken]

Integraalrekening en differentiaalrekening worden samen wel omschreven als infinitesimaalrekening, een onderdeel van de 'hogere wiskunde'.

Voetnoten[bewerken]

  1. Zie de Elementen van Euclides, de Archimedespalimpsest en Apollonius van Perga op MacTutor
  2. (en) Aryabhata de Oudere op MacTutor
  3. (en) Ian G. Pearce, Bhaskaracharya II. op MacTutor
  4. (en) C. N. Srinivasiengar, The History of Ancient Indian Mathematics, The Mathematical Gazette, vol 52, issue=381, pag 307-8
  5. (en) J. L. Berggren, (1990). "Innovation and Tradition in Sharaf al-Din al-Tusi's Muadalat" (Innovatie en traditie in Sharaf al-Din al-Toesis Muadalat), Journal of the American Oriental Society 110 (2), pag. 304-309.
  6. (en) Sharaf al-Din al-Tusi's op MacTutor
  7. (en) Paramesvara op MacTutor
  8. Newton en Leibniz begonnen hun werk respectievelijk in 1666 en 1676. Leibniz publiceerde zijn eerste artikel echter in 1684, negen jaar voor Newtons eerste publicatie in 1693. Het is mogelijk dat Leibniz conceptversies van Newtons werk in 1673 of 1676 heeft ingezien, of dat Newton gebruik heeft gemaakt van het gepubliceerde werk van Leibniz om zijn eigen werk te verfijnen. Zowel Newton als Leibniz beweerde dat de ander zijn werk plagieerde. Dit resulteerde in een bittere controverse tussen de twee mannen met alsinzet de vraag wie de analyse als eerste had uitgevonden. Deze controverse deed de wiskundige gemeenschap in de vroege 18e eeuw op zijn grondvesten schudden.
  9. Dit was een monumentale prestatie, ook al was een beperktere versie ervan al eerder bewezen door James Gregory (1638-1675) en zijn enkele belangrijke voorbeelden hier terug te vinden in het werk van Pierre de Fermat (1601-1665).
  10. Victor J. Katz, (1995), "Ideas of Calculus in Islam and India" (Ideeën over analyse in de Islam en India) Mathematics Magazine 68 (3): 163-174 [165-9 & 173-4]
  11. Eves, H. (1990).