Differentiequotiënt

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Het differentiequotiënt is een begrip uit de analyse, een deelgebied van de wiskunde. Differentiequotiënten vormen samen met het limietbegrip het theoretische fundament onder de differentiaalrekening. Het differentiequotiënt beschrijft de verhouding van de verandering in de ene grootheid ten opzichte van de verandering in een andere grootheid, waarvan deze eerste grootheid afhankelijk is. In de analyse gebruikt men het differentiequotiënt om de afgeleide van een functie te definiëren.

Definitie[bewerken]

Afgeleide1.png

Zij f een functie met domein Df. Als het interval [x,xx] een deel is van het domein, noemt men het quotiënt

\varphi(f,x,x+\Delta x) = \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}

het differentiequotiënt van f over het interval [x,xx].

Als de functie wordt aangeduid als y = f(x), schrijft men wel

\!\,\Delta y = f(x+\Delta x) - f(x),

en wordt het differentiequotiënt wel genoteerd als

\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\frac {\Delta y}{\Delta x}.

Het differentiequotiënt is de richtingscoëfficiënt van de snijlijn (de blauwe lijn in de grafiek) door de punten (x,f(x)) en (xx,f(xx)), op de grafiek van f.

Door \Delta x naar nul te laten gaan, wordt deze lijn een steeds betere benadering van de raaklijn aan de grafiek van f in het punt (x,f(x)).

Volgens de gegeneraliseerde versie van de stelling van Rolle zijn op ten minste één punt binnen het interval [x,xx] de richtingscoëfficiënt van de snijlijn en de raaklijn van functie f aan elkaar gelijk, op voorwaarde dat f(x) continu en differentieerbaar is binnen dat interval.