Diophantische meetkunde

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de wiskunde is de diophantische meetkunde een benadering van de theorie van de Diophantische vergelijkingen. Het formuleert vragen over Diophantische vergelijkingen in termen van algebraïsche meetkunde over een grondveld K, dat niet algebraïsch gesloten is, zoals op het gebied van rationale getallen of eindige velden, of meer algemeen commutatieve ringen, zoals de gehele getallen. Een enkele vergelijking definieert een hyperoppervlak, en gelijktijdig geven Diophantische vergelijkingen aanleiding tot een algemene algebraïsche variëteit V over K; de typische vraag gaat over de aard van de verzameling V(K) van punten op V met coördinaten in K, en door middel van hoogtefuncties kunnen kwantitatieve vragen over de "grootte" van deze oplossingen worden gesteld, evenals de kwalitatieve vraag of er überhaupt zo'n punt bestaat en als dat het geval is of er een oneindig aantal punten bestaat.

Gegeven de meetkunde aanpak is de beschouwing van homogene vergelijkingen en homogene coördinaten fundamenteel, dit om dezelfde redenen dat de projectieve meetkunde de dominante benadering binnen de algebraïsche meetkunde is. Rationaal getal oplossingen zijn daarom de belangrijkste overweging; maar integrale oplossingen (dat wil zeggen roosterpunten) kunnen op dezelfde manier worden behandeld als een affiene variëteit kan worden beschouwd binnenin een projectieve variëteit die extra punten op oneindig heeft.