Dirac-maat

In de maattheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een dirac-maat $\delta _{x}$ op een meetbare ruimte $(X,\Sigma )$ de maat die de singleton $\{x\}$ de maat 1 geeft:

$\delta _{x}(\{x\})=1$

In het algemeen wordt de maat voor een meetbare verzameling $A\in \Sigma$ gedefinieerd door

$\delta _{x}(A)={\begin{cases}0,&x\not \in A;\\1,&x\in A.\end{cases}}$

De dirac-maat is een kansmaat en vertegenwoordigt in termen van waarschijnlijkheid de bijna zekere uitkomst $x$ in de uitkomstenruimte $X$.

De naam van de dirac-maat is afgeleid van de dirac-deltafunctie.

Eigenschappen van een dirac-maat

• $\delta _{x}$ is een kansmaat, en dus een eindige maat.

Veronderstel dat $(X,T)$een topologische ruimte is en dat $\Sigma$ ten minste zo "fijn" is als de borelstam $\sigma (T)$ op $X$.

• $\delta _{x}$ is dan en slechts dan een strikt positieve maat als de topologie $T$ zodanig is dat $x$ in elke niet-lege open verzameling ligt.
• Aangezien $\delta _{x}$ een kansmaat is, is het ook een lokaal eindige maat.
• Als $X$ een hausdorff-ruimte is met de borel sigma-algebra, dan is een inwendige reguliere maat, aangezien de singletons altijd compact zijn. $\delta _{x}$ is dus ook een radon-maat.
• Ervan uitgaande dat de topologie $T$ "fijn" genoeg is zodat $\{x\}$ gesloten is, wat het geval is in de meeste toepassingen, dan is $\{x\}$ de drager $\mathrm {supp} (\delta _{x})$ van $\delta _{x}$. Verder is $\delta _{x}$ de enige kansmaat die door $\{x\}$ wordt gedragen.
• Als $X=\mathbb {R} ^{n}$ een $n$-dimensionale euclidische ruimte is met de gebruikelijke sigma-algebra en $n$-dimensionale lebesgue-maat $\lambda _{n}$, dan is $\delta _{x}$ een singuliere maat met betrekking tot $\lambda _{n}$.