Dirac-maat

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de maattheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een Dirac-maat, δx, op een verzameling X (met enige σ-algebra van deelverzamelingen van X) de maat, die de singleton (x) de maat 1 geeft, dit voor een gekozen element x ∈ X:

\delta_{x} \left( \{ x \} \right) = 1.

In het algemeen wordt de maatregel gedefinieerd door

\delta_{x} (A) = \begin{cases} 0, & x \not \in A; \\ 1, & x \in A. \end{cases}

voor enige meetbare verzameling A ⊆ X.

De Dirac-maat is een waarschijnlijkheidsmaat en vertegenwoordigt in termen van waarschijnlijkheid de bijna zekere uitkomst x in de steekproefruimte X. We kunnen ook zeggen dat de maat een enkel atoom op x is. De Dirac-maat behandelen als een atomaire maat is echter niet juist, wanneer we de volgordelijke definitie van de Dirac-delta, als de limiet van een delta-volgorde beschouwen. De Dirac-maten zijn de extreme punten van de convexe verzamelingen van de waarschijnlijkheidsmaten op X.

De naam is een afleiding van de Dirac-deltafunctie, beschouwd als een Schwartz-verdeling, bijvoorbeeld de reële lijn; maten kunnen worden gezien als een bijzondere vorm van distributie. De identiteit

\int_{X} f(y) \, \mathrm{d} \delta_{x} (y) = f(x),

die, in de vorm

\int_{X} f(y) \delta_{x} y \, \mathrm{d} (y) = f(x),

vaak als een onderdeel van de definitie van de "delta-functie" wordt gezien, geldt als een stelling van Lebesgue-integratie.

Eigenschappen van een Dirac-maat[bewerken]

Laat δx een, op enig vast punt x gecentreerd zijnde, Dirac-maat in enige meetbare ruimte (X, Σ) aanduiden.

  • δx is een waarschijnlijkheidsmaat, en dus een eindige maat.

Veronderstel dat (XT) een topologische ruimte is en dat Σ tenminste zo "fijn" is als de Borel σ-algebra σ(T) op X.

  • δx is dan en slechts dan een strikt positieve maat als de topologie T zodanig is dat x binnen elke open verzameling ligt, dat wil zeggen: in het geval van een triviale topologie {∅, X}.
  • Aangezien δx een waarschijnlijkheidsmaat is, is het ook een lokaal eindige maat.
  • Als X een Hausdorff-ruimte is met haar Borel σ-algebra, dan voldoet δx aan de conditie dat het een inwendige regelmatige maat is, aangezien de singleton verzamelingen, zoals {x}, altijd compacte ruimtes zijn. δx is dus ook een Radon-maat.
  • Ervan uitgaande dat de topologie T "fijn" genoeg is dat {x} gesloten is, wat het geval is in de meeste toepassingen, dan is de drager van δ x {x} (anders is supp(δx) de afsluiting van {x} in (XT)). Verder is δx de enige waarschijnlijkheidsruimte die door {x} wordt gedragen.
  • Als X een n-dimensionale Euclidische ruimte Rn is met haar gebruikelijke σ-algebra en n-dimensionele Lebesgue-maat λn, dan is δx een singuliere maat met betrekking tot λn: deel Rn op in A = Rn \ {x} en B = {x} en wordt gewaar dat δx(A) = λn(B) = 0.