Diracdelta

Schematische voorstelling Dirac-functie

De Diracdelta of deltafunctie, soms ook wel Diracimpuls of Diracstoot genoemd, is een distributie (géén functie) $\! \delta(x)$ geïntroduceerd door Paul Dirac en gedefinieerd als volgt,

$\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) f(x) dx = f(0)$

of

$\int_{-\epsilon}^{+\epsilon} \delta(x)f(x)dx=f(0)$.

voor alle ε > 0. Een direct gevolg hiervan is dat,

$\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) dx = 1$.

Als echte functie bestaat deze niet maar men kan ze onder andere bekijken als een limietgeval van een rechthoek met breedte gaande naar nul, en de hoogte zódanig dat de oppervlakte 1 is. De naïeve limiet ziet eruit als een functie die overal nul is behalve in de oorsprong, waar ze oneindig wordt. Ze wordt dan ook vaak voorgesteld als een verticale "pijl" in de oorsprong. Door deze eigenschappen is ze bijvoorbeeld zeer geschikt om dichtheden te definiëren voor puntdeeltjes.

De afgeleide wordt gedefinieerd als volgt,

$\int \delta^{(n)}(x)f(x)dx=-\int \delta^{(n-1)}(x)f'(x)dx.$

Eigenschappen

• $\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x-a) f(x) dx = f(a)$

• Een Convolutie van een functie met een deltafunctie in x = a stemt meetkundig overeen met een verschuiving over a :

$f(x)\star\delta(x-a)=f(x-a)$

• De afgeleide van de Heaviside-stapfunctie H is de deltafunctie,

$\frac{dH(x)}{dx} = \delta(x)$.

• De deltafunctie is een even distributie,

$\, \delta(x)=\delta(-x)$.

• Er geldt,

$\delta(\alpha x)=\frac{\delta(x)}{ |\alpha|}$.

• Meer algemeen,

$\delta(g(x))=\sum_i \frac{\delta(x-x_i)}{ |g'(x_i)|}$

waar $x_i$ alle wortels of nulpunten zijn van $g(x)$.

• Zowel de Fouriertransformatie als de Laplacetransformatie van een deltafunctie zijn gelijk aan 1.

De Diracdelta is nauw verwant met de Kronecker-delta.

Deltatrein

De periodieke herhaling met periode T van een deltafunctie heet een deltatrein :

$\delta_T(x)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(x-n.T)$

Het product van een functie f(x) met een deltatrein stemt overeen met het begrip bemonsteren. De continu gedefinieerde functie f(x) wordt omgezet in een discrete functie die enkel bestaat op de plaatsen van waar de deltatrein bestaat.

$f(x)\ \delta_T(x)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}f(n.T)\ \delta(x-n.T)$

De convolutie van een functie f(x) met een deltatrein stemt meetkundig overeen met een periodieke herhaling van die functie.

$f(x)\star\delta_T(x)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}f(x-n.T)$

Enkel indien de functie f(x) niet-nul is op een eindig interval met lengte A, en de herhalingsperiode T groter is dan A, zal er geen overlapping optreden tussen de opeenvolgende periodieke herhalingen.

Externe links

• Definitie en eigenschappen
• MathWorld (Engels)