Directe som

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De directe som is een wiskundige techniek om uit twee of meer gelijksoortige algebraïsche structuren een nieuwe structuur van dezelfde soort te bouwen.

Omgekeerd, zal men het gewoonlijk als een milde triomf beschouwen, wanneer een ingewikkelde structuur plots gelijkwaardig (bijvoorbeeld isomorf) blijkt te zijn met de directe som van eenvoudiger structuren. Structuren die niet gelijkwaardig zijn met een directe som van niet-triviale structuren, krijgen vaak benamingen als "enkelvoudig" of "irreducibel".

Dit artikel haalt enkele vaak voorkomende voorbeelden aan van directe sommen. Er bestaat ook een abstracte definitie van het begrip directe som in de categorietheorie, waarvan onze voorbeelden bijzondere gevallen zijn.

Directe som van twee groepen[bewerken]

Groepsstructuren leveren het eerste belangrijke voorbeeld van een directe som. Een groep (G,*) bestaat uit een verzameling G en een binaire operatie *. Als (H,.) een tweede groepsstructuur is, dan definiëren we als volgt een binaire operatie ° op het cartesisch product GxH van de verzamelingen G en H:

\circ:(G\times H)\times(G\times H)\to G\times H:((g_1,h_1),(g_2,h_2))\mapsto(g_1*g_2,h_1.h_2)

In woorden uitgedrukt: onder de nieuwe groepsbewerking wordt de samenstelling van twee koppels bekomen door de afzonderlijke leden van het koppel (oorsprong en doel) met de oorspronkelijke twee groepsbewerkingen samen te stellen.

In de bovenstaande formule komt het Cartesisch product van verzamelingen op twee verschillende niveaus voor: enerzijds omdat we over de productverzameling GxH spreken, anderzijds omdat binaire operaties altijd op een Cartesisch product opereren.

De directe som wordt meestal genoteerd met een plus-teken in een cirkeltje:

G\oplus H

Voor deze definitie hebben we geen gebruik gemaakt van de groepseigenschappen. Ze is dus ook bruikbaar voor algemenere binaire operaties, zoals groepoïden of halfgroepen.

Men kan eenvoudig aantonen dat, als de individuele componenten van het Cartesisch product aan de vier groepsaxioma's voldoen, de directe som dat ook doet. Het neutrale element is het koppel dat bestaat uit de twee afzonderlijke neutrale elementen van G en H.

De directe som van abelse groepen is abels.

Voorbeelden[bewerken]

De Viergroep van Klein is isomorf met de directe som van de cyclische groep van twee elementen met zichzelf:

V_4\simeq\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}

Zijn p en q twee natuurlijke getallen. De cyclische groep van orde pq isomorf met het direct product van de cyclische groepen van ordes p en q als en slechts als p en q geen gemene delers hebben:

(p,q)=1\iff\mathbb{Z}/pq\mathbb{Z}\simeq\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}

Directe som van een willekeurig aantal groepen[bewerken]

Bovenstaande definitie kan gemakkelijk worden herschreven voor drie verzamelingen G, H en I, of in het algemeen voor de componentsgewijze samenstelling van n-tupels uit een n-voudig Cartesisch product van groepen.

Bij een oneindig aantal groepen wordt de definitie meestal op één belangrijk punt aangepast: men eist dat de oneindige tupels in alle componenten, op een eindig aantal componenten na, het neutraal element bevatten. De directe som van een oneindig aantal groepen is dus geen groepsbewerking op het Cartesisch product van de individuele dragerverzamelingen, maar op een strikte deelverzameling van het Cartesisch product. De notatie is tamelijk intuïtief

\bigoplus_{i\in I}G_i

Structuurstelling voor eindige abelse groepen[bewerken]

Een belangrijk resultaat in de theorie der abelse groepen is het volgende.

Elke eindige abelse groep is isomorf met een directe som van cyclische groepen.

Deze stelling is in het algemeen niet geldig bij niet-abelse groepen. Een groep zonder echte normaaldelers heet een simpele of enkelvoudige groep. De classificatie van niet-cyclische enkelvoudige groepen wordt als voltooid beschouwd, maar haar bewijs telt tienduizenden bladzijden, verspreid over tientallen artikels.

Directe som van ringen[bewerken]

Door de definitie van de directe som van binaire operaties tegelijkertijd toe te passen op de twee bewerkingen van een ringstructuur, bekomen we de directe som van ringen. Als de oorspronkelijke ringen een commutatieve vermenigvuldiging hebben, dan ook hun directe som. Als een eindig aantal ringen een eenheidselement (neutraal element voor de vermenigvuldiging) hebben, dan ook hun directe som.

De directe (ring)-som van lichamen is geen lichaam, tenzij in enkele randgevallen. Algemener is de directe som van nuldelervrije ringen meestal niet nuldelervrij.

Directe som van modulen en vectorruimten[bewerken]

Er is geen nuttige algemene definitie voor de directe som van twee modulen of vectorruimten. Men kan echter wel de directe som van twee modulen over eenzelfde ring R (of twee vectorruimten over eenzelfde lichaam k) definiëren, en het resultaat is opnieuw een moduul over R (resp. een vectorruimte over k).

De directe som van abelse groepen kan worden beschouwd als een bijzonder geval hiervan, omdat abelse groepen in een-eenduidig verband staan met modulen over de ring der gehele getallen.